Direkt, Inndirekt und Wiederspruch

Question

Text erkannt:

Aufgabe:
Seien a und b zwei positive reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass
\( a^{2}<b^{2}=>a<b \)
Problem/Ansatz:
a) mit einem direkten Beweis,
b) mit einem indirekten Beweis,
c) mit einem Widerspruchsbeweis.

Aufgabe:

Seien a und b zwei positive reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass
a^2 < b^2 = > a < b

Problem/Ansatz:

a) mit einem direkten Beweis,
b) mit einem indirekten Beweis,
c) mit einem Widerspruchsbeweis.

Comments

Direkt, Inndirekt und Wiederspruch

Besser:

Beweis: direkt, indirekt und durch Widerspruch

a^2 < b^2 = a < b

Richtig:

a^2 < b^2 ⇔ a < b

---

Ist das den Direkte Beweis?

---

Nein, ich habe nur versucht, die Aussage in der üblichen Schreibweise zu notieren. Due müsstest mal schauen, wie die Aufgabe denn genau formuliert ist, und das dann nachtragen.

Answer 1

a)

\(a^2<b^2\Rightarrow b^2-a^2>0\).

Wegen \(a,b>0\) gilt \(b+a>0\), also auch

\((b+a)^{-1}>0\). Daher

\(0<(b^2-a^2)\cdot (b+a)^{-1}=(b+a)(b-a)/(b+a)=b-a\),

also \(a<b\).

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Nach Voraussetzung gilt \(a,b\in\mathbb R^+\).

Direkter Beweis:$$a^2<b^2\implies b^2-a^2>0\implies(b-a)\underbrace{(b+a)}_{>0}>0\implies b-a>0\implies a<b$$

Indirekter Beweis: Wir nutzen: \((A\implies B)\Longleftrightarrow(\lnot B\implies\lnot A)\):$$(a\ge b\implies a^2\ge b^2)\implies(\lnot(a^2\ge b^2)\implies\lnot(a\ge b))\implies (a^2<b^2\implies a<b)$$

Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen an, dass \(a\ge b\) bzw, \(b-a\le0\) gilt.

$$a^2<b^2\implies b^2-a^2>0\implies(b+a)\underbrace{(b-a)}_{\le0}>0\implies a+b<0\quad\text{Widerspruch}$$Mit der Annahme \(a\ge b\) folgt aus \(a^2<b^2\), dass \(a+b<0\) sein muss, was jedoch im Widerspruch dazu steht, dass \(a,b\in\mathbb R^+\) sind. Also war die Annahme \(a\ge b\) falsch und es muss \(a<b\) gelten.