Mit welcher Wahrscheinlichkeit weist das Buch sechs oder mehr Druckfehler auf?

Question

Aufgabe:

Ein Schulbuchverlag mit hohem Qualitätsanspruch ist sehr auf die Vermeidung von Druckfehlern bedacht. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Buchstabe falsch gesetzt ist, äußerst gering. Da allerdings ein Buch viele Buchstaben enthält, beträgt der Erwartungswert der Anzahl X von Druckfehlern pro 100 Seiten dennoch E(X)=4. Betrachter sei ein Buch mit 200 Seiten.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit weißt das Buch 6 oder mehr Fehler auf?

Problem/Ansatz:

Die Lösung ist:

X - Anzahl von Druckfehlern pro 100 Seiten

X~Po(4)

X*= X+X

X*~Po(8)

$$P(X* \ge 6)=1-P(X* \leq 5)= 1- 0.1912$$

Ist Po die Poissonverteilung?

Warum macht man das mit dem X*?

Woher haben die die 0.1912? Aus einer Tabelle? Falls ja, welcher? Wie finde ich den Wert dort?

Comments

Hier wird es gut erklärt:

https://matheguru.com/stochastik/poisson-verteilung.html

Du musst P(X=0) bis P(X=5) addieren.

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\(\displaystyle p(x^* \geq 6) = 1- \sum \limits_{k=0}^{5}\binom{200}{k} \left(\frac{4}{100}\right)^{k}\left(1-\frac{4}{100}\right)^{200-k} \approx 81 \, \% \)

Aber der Wert in der Musterlösung kommt von der Poissonverteilung.

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Hi döschwo. Eigentlich ganz gut, dass du gerade mit der Binomialverteilung um die Ecke biegst. Denn in der Schule werden Buchfehleraufgaben auch damit gerne gerechnet.

Vielleicht könntest du selber erklären, warum hier eigentlich mit der Poissonverteilung und nicht mit der Binomialverteilung gerechnet wird.

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Die Differenz ist minimal, neglegibel.

Die Poisson-Verteilung wird vor allem dort eingesetzt, wo die Häufigkeit eines Ereignisses über eine gewisse Zeit betrachtet wird.

Um Zeit geht es hier nicht, dafür um seltenes Vorkommen.

Die „Poisson-Verteilung“ wendet man vor allem bei Ereignissen an, die eine recht kleine Wahrscheinlichkeit haben.

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Anstatt "neglegibel" würde ich "negligible" oder "négligeable" bevorzugen.

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Das eine Verteilung durch eine andere approximiert werden kann, wenn die Parameter bestimmte Bedingungen erfüllen dürfte eigentlich klar sein. Darauf wollte ich eigentlich nicht hinaus.

Die Musterlösung geht wohl davon aus, dass das Problem besser durch die Poissonverteilung als durch die Binomialverteilung beschrieben werden kann.

Daher sollte man schon die Unterschiede der Verteilungen kennen und hier vielleicht auch sagen, warum man eher die Binomialverteilung als eine Poissonverteilung benutzt hätte bzw. warum man die Binomialverteilung für geeigneter hält.

Das beide Verteilungen für wirkliche Bücher nicht stimmen kann man sich ohnehin selber leicht erschließen. Aber auch ich halte die Poissonverteilung unter geeigneten Annahmen für besser als die Binomialverteilung.

Answer 1

Ja. Po ist hier die Poisssonverteilung.

X ist die Zufallsgröße der Fehler bei 100 Seiten

X* ist die Zufallsgröße der Fehler bei 200 Seiten.

X* ist also Poissonverteilt mit dem Erwartungswert λ = 8

Die 0.1912 kannst du mit dem Taschenrechner berechnen.

P(X* <= 5) = ∑ (k = 0 bis 5) (8^k/k!·EXP(-8)) = 0.1912360620