Berechnen Sie mit dem Horner-Schema p(-1+i) und p(-i) , und zerlegen Sie p(z) in Linearfaktoren.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben Sie das folgende Polynom über den komplexen Zahlen:
\( p(z)=z^{6}+z^{5}-5 z^{4}-13 z^{3}-18 z^{2}-14 z-12 \)
Berechnen Sie mit dem Horner-Schema \( p(-1+i) \) und \( p(-i) \), und zerlegen Sie \( p(z) \) in Linearfaktoren.

Ausgehend vom Horner-Schema sind (-1+i) und (-i) Nullstellen.

Doch wie schaffe ich, dieses Polynom noch weiter zu faktorisieren.

Gibt es ne einfachere Methode außer Polynomdivision (mit den komplexen Zahlen)

Problem/Ansatz:

Ich suche einen Ansatz.

Comments

Wenn \(z_1=-\mathrm i\) eine Nullstelle ist, dann ist auch \(\overline{z_1}=\mathrm i\) eine solche. Damit ist das Polynom durch \(z^2+1\) teilbar und man kann sich auf reelle Polynomdivision beschränken. Ähnliches gilt für \(z_2=-1+\mathrm i\).

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Vielen Dank!

Answer 1

Die Faktorenzerlegung: (z+2)(z-3)(z+i)(z- i)(z+i+1)(z- i+1).