Integration Formansatz f(x)

Question

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Ein anderes Problem?

Moliets · Answer 1 · 2023-04-14T16:13:14+0000

Lösung mit der partiellen Integration:

$f(x)= x^2*e^{x} $

$u´=e^{x} $ → $u=e^{x} $

$v=x^2$ → $v´=2x $

$ \int\limits_{}^{}x^2*e^{x}dx=e^{x}*x^2-\int\limits_{}^{}e^{x}*2x dx $

.............

$\int\limits_{}^{}e^{x}*2x dx $

$u´=e^{x} $ → $u=e^{x} $

$v=2x$ → $v´=2 $

$\int\limits_{}^{}e^{x}*2x dx= e^{x}*2x-\int\limits_{}^{}e^{x}*2 dx= e^{x}*2x-2e^{x} $

.............

$ \int\limits_{}^{}x^2*e^{x}dx=e^{x}*x^2-(e^{x}*2x-2e^{x})=e^{x}*x^2-e^{x}*2x+2e^{x}=e^x*(x^2-2x+2)+C$

trancelocation · Answer 2 · 2023-04-14T17:54:32+0000

Formansatz bedeutet folgendes:

Wir wissen, dass die Ableitung eines Produktes aus einem Polynom $p(x)$ und $e^x$ wie folgt aussieht:

$$\left(p(x)e^x\right)' = p'(x)e^x+ p(x)e^x = (p'(x)+p(x))e^x$$

Wir suchen jetzt ein Polynom, für das gilt:

$$p'(x) + p(x) = x^2$$

Damit ist schon einmal klar, dass der $\operatorname{grad}(p)=2$ ist ( weil beim Ableiten eines Polynoms der Grad nur kleiner werden kann).

Also ist der Ansatz

$$p(x) = ax^2+bx+c \Rightarrow p'(x) = 2ax+b$$

Damit ergibt sich

$$p'(x) + p(x) = ax^2 + (2a+b)x + b+c =x^2$$

Jetzt machst du Koeffizientenvergleich:

$\Rightarrow a=1$

$\Rightarrow b=-2a = -2$

$\Rightarrow c=-b = 2$

Damit ergibt sich

$p(x) = x^2-2x+2$

D.h., eine Stammfunktion ist

$$(x^2-2x+2)e^x$$