Integration Formansatz f(x)

Question

Hallo, ich sitze schon seit einer Stunde an dieser Aufgabe, leider komme ich zu falschen Ergebnissen.

Aufgabe: Bestimmen Sie mit Hilfe eines Formansatzes eine Stammfunktion von f.

f(x)= x^2*e^x

Ansatz: F(x)= e^0,5x*(0,5ax+a+0,5b)

Für a=4 und b=-8

Stammfunktion: e^0,5x*(2x-2)

Leider stimmt die Ableitung nicht mit f(x) überein.

Über eine Lösung würde ich mich freuen, danke!

Comments

Hier ausführlich mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

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Hier ausführlich

So ausführlich, dass der verlangte Formansatz vorkommt denn allerdings doch nicht.

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Der Formansatz ist völliger Unsinn... Der passt hinten und vorne nicht.

Answer 1

Lösung mit der partiellen Integration:  

\(f(x)= x^2*e^{x} \)

\(u´=e^{x} \)  → \(u=e^{x} \)

\(v=x^2\) → \(v´=2x \)

\( \int\limits_{}^{}x^2*e^{x}dx=e^{x}*x^2-\int\limits_{}^{}e^{x}*2x dx \)

.............

\(\int\limits_{}^{}e^{x}*2x  dx \)

\(u´=e^{x} \)  → \(u=e^{x} \)

\(v=2x\) → \(v´=2 \)

\(\int\limits_{}^{}e^{x}*2x dx= e^{x}*2x-\int\limits_{}^{}e^{x}*2  dx= e^{x}*2x-2e^{x} \)

.............

\( \int\limits_{}^{}x^2*e^{x}dx=e^{x}*x^2-(e^{x}*2x-2e^{x})=e^{x}*x^2-e^{x}*2x+2e^{x}=e^x*(x^2-2x+2)+C\)

Answer 2

Formansatz bedeutet folgendes:

Wir wissen, dass die Ableitung eines Produktes aus einem Polynom \(p(x)\) und \(e^x\) wie folgt aussieht:

$$\left(p(x)e^x\right)' = p'(x)e^x+ p(x)e^x = (p'(x)+p(x))e^x$$

Wir suchen jetzt ein Polynom, für das gilt:

$$p'(x) + p(x) = x^2$$

Damit ist schon einmal klar, dass der \(\operatorname{grad}(p)=2\) ist ( weil beim Ableiten eines Polynoms der Grad nur kleiner werden kann).

Also ist der Ansatz

$$p(x) = ax^2+bx+c \Rightarrow p'(x) = 2ax+b$$

Damit ergibt sich

$$p'(x) + p(x) = ax^2 + (2a+b)x + b+c =x^2$$

Jetzt machst du Koeffizientenvergleich:

\(\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow b=-2a = -2\)

\(\Rightarrow c=-b = 2\)

Damit ergibt sich

\(p(x) = x^2-2x+2\)

D.h., eine Stammfunktion ist

$$(x^2-2x+2)e^x$$