Rotationskörper um Y-Achse

Question

Hallo ich brauch Hilfe bei einem Rotationskörper Volumen bsp:

f(x)=x²
auf dem Intervall I=[0;1,5]

Ich habe zwar eine eigene Lösung, aber sie stimmt nicht mit der richtigen Lösung überein.

Mein Ansatz wäre, wenn ich eine Rotation um die Y-Achse habe dann muss ich ja meine Formel nach x umformen.

Das wäre aber schon der Fall bei dem Beispiel oben, und bei der Rotationskörper-Formel muss ich dann die Formel nochmal hoch 2 nehmen, was ebenfalls schon in der Formel so ist.

y = x²

Aber ich komme irgendwie nicht auf das richtige Ergebnis.

Comments

Ich habe zwar eine eigene Lösung

Welche?

... dann muss ich ja meine Formel nach x umformen.

Nein, wie kommst Du darauf?

Answer 1

Aloha :)

Bei der Rotation des Graphen von $y=x^2$ um die $y$-Achse entsteht auf der "Höhe" $y$ ein Kreis senkrecht zur $y$-Achse mit Mittelpunkt auf der $y$-Achse. Der Radius dieses Kreies ist der zugehörige $x$-Wert, die Fläche dieses Kreises ist daher $F=\pi x^2$. Diese Flächen musst du nun entlang der $y$-Achse summieren, um das Volumen zu erhalten.

Wegen $x\in[0;\frac32]$ und $\pink{y=x^2}$ gilt $y\in[0;\frac94]$ und das Rotationsvolumen ist:$$V=\int\limits_{y=0}^{\frac94}\pi \pink{x^2}\,dy=\int\limits_{y=0}^{\frac94}\pi\pink y\,dy=\left[\pi\,\frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{\frac94}=\pi\,\frac{\left(\frac94\right)^2}{2}=\frac{81}{32}\pi$$

Answer 2

Auf was willst Du hinaus?

Da lassen wir eine Parabel auf der y-Achse u² und in der xz-Ebene einen u-Radius abhängigen Kreis wachsen u (cos(v),sin(v)) macht:

(u cos(v), u², u sin(v)), u, 0, 1.5, v, 0, 2π)

Answer 3

$y=x^2$     $I=[0;1,5]$

$y(0)=0$      $y(1,5)=2,25$

x,y Tausch:

$y^2=x$ → $y=+-\sqrt{x}$

Rotation um die x-Achse:

Allgemein:   $V=π*\int\limits_{a}^{b}y^2*dx$

$V=π*\int\limits_{0}^{2,25}xdx=π*[\frac{1}{2}*x^2]=\frac{81}{32}*π$