Rotationskörper um Y-Achse

Question

Hallo ich brauch Hilfe bei einem Rotationskörper Volumen bsp:

f(x)=x^2
auf dem Intervall I=[0;1,5]

Ich habe zwar eine eigene Lösung, aber sie stimmt nicht mit der richtigen Lösung überein.

Mein Ansatz wäre, wenn ich eine Rotation um die Y-Achse habe dann muss ich ja meine Formel nach x umformen.

Das wäre aber schon der Fall bei dem Beispiel oben, und bei der Rotationskörper-Formel muss ich dann die Formel nochmal hoch 2 nehmen, was ebenfalls schon in der Formel so ist.

y = x^2

Aber ich komme irgendwie nicht auf das richtige Ergebnis.

Comments

Ich habe zwar eine eigene Lösung

Welche?

... dann muss ich ja meine Formel nach x umformen.

Nein, wie kommst Du darauf?

Answer 1

Aloha :)

Bei der Rotation des Graphen von \(y=x^2\) um die \(y\)-Achse entsteht auf der "Höhe" \(y\) ein Kreis senkrecht zur \(y\)-Achse mit Mittelpunkt auf der \(y\)-Achse. Der Radius dieses Kreies ist der zugehörige \(x\)-Wert, die Fläche dieses Kreises ist daher \(F=\pi x^2\). Diese Flächen musst du nun entlang der \(y\)-Achse summieren, um das Volumen zu erhalten.

Wegen \(x\in[0;\frac32]\) und \(\pink{y=x^2}\) gilt \(y\in[0;\frac94]\) und das Rotationsvolumen ist:$$V=\int\limits_{y=0}^{\frac94}\pi \pink{x^2}\,dy=\int\limits_{y=0}^{\frac94}\pi\pink y\,dy=\left[\pi\,\frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{\frac94}=\pi\,\frac{\left(\frac94\right)^2}{2}=\frac{81}{32}\pi$$

Answer 2

Auf was willst Du hinaus?

Da lassen wir eine Parabel auf der y-Achse u^2 und in der xz-Ebene einen u-Radius abhängigen Kreis wachsen u (cos(v),sin(v)) macht:

(u cos(v), u², u sin(v)), u, 0, 1.5, v, 0, 2π)

Answer 3

\(y=x^2\)     \(I=[0;1,5]\)

\(y(0)=0\)      \(y(1,5)=2,25\)

x,y Tausch:

\(y^2=x\) → \(y=+-\sqrt{x}\)

Rotation um die x-Achse:

Allgemein:   \(V=π*\int\limits_{a}^{b}y^2*dx \)

\(V=π*\int\limits_{0}^{2,25}xdx=π*[\frac{1}{2}*x^2]=\frac{81}{32}*π \)