Rangbestimmung einer Matrix mit unbekannter reellen Zahl

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie durch elementare Zeilenumformungen den Rang der Matrizen
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 3 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right) \text { und } B=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 2 & -2 \\ 1 & \alpha & 3 \\ \alpha & 2 & 1 \end{array}\right) ; \alpha \in \mathbb{R} ? \)

Problem/Ansatz:

Für A habe ich den Rang=4 raus.

Bei B war ich mir nicht sicher und habe mit a einfach weiter gerechnet:

2 2 -2

1 a 3

a 2 1

1. und 3. tauschen:

a 2 1 
1 a 3         2*2.-3.
2 2 -2        3.-2*2.

a  2     1

0 2a-2  8

0 2-2a -8   3.+2.

a   2    1
0 2a-2 8

0   0    0

Damit: rg(B) = 2, wenn a ≠ 1 und rg(B) = 1, wenn a = 1

Ich würde gerne wissen, ob man das so machen kann und das Ergebnis dann so richtig wäre.

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Hallo

bei b hast u 2 mal dasselbe gemacht, also einfach die umgeformte 2 te Zeile 2*2-3 noch mal negativ als dritte Zeile hingeschrieben, -(2*2-3)

also einfach 2 mal dieselbe Zeile,  setz mal a=1 oder 2 dann siehst du deinen Fehler!

Gruß lul

Comments

Aber das sind doch jeweils erlaubte Zeilenumformungen oder nicht?

Ich möchte ja diese Dreiecksform unten links bekommen und das erreiche ich dadurch. Oder habe ich mich verrechnet? Ich finde nämlich den Fehler nicht. Könntest du mir das nochmal genauer erklären? ^^

Gruß

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nein, sind sie nicht. du benutzt in einem Schritt die II um den Eintrag a_3,1 auf 0 zu setzen und dann benutzt die III um den Eintrag a_2,1 auf 0 zu setzen. Richtig wäre gewesen:

III-2/a*I

II-1/a*I

Für a!=0. Den Fall a=0 dann auch noch betrachten

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Ok, aber wie sieht dann die Matrix nach dem Schritt aus?

Answer 2

Du solltest eine Gleichung/Zeile zu ALLEN anderen addieren um eine Spalte zu Nullen

z.B. Zeile1 zu 2 und 3 (möglichst eine OHNE den Parameter)

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{-1}{2}&1&0\\\frac{-1}{2} \; a&0&1\\\end{array}\right)   \left(\begin{array}{rrr}2&2&-2\\1&a&3\\a&2&1\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrr}2&2&-2\\0&a - 1&4\\0&-a + 2&a + 1\\\end{array}\right) \right\} \)

kommst DU jetzt weiter?

==> \(\small \left(\begin{array}{rrr}2&2&-2\\0&1&a + 5\\0&0&-a^{2} - 4 \; a + 9\\\end{array}\right)   \)