Optimierung eines Flusses

Question

Aufgabe:

Die Funktion mit f(x) =2cos(2x) - 2.4 beschreibt for x in [- pi/2, pi/2] den Verlauf eines Flusses, wobei eine Längeneinheit 100m in der Realität bedeutet. Eine Straße verläuft langs der Achse Eine Gemeinde plant ein neues rechteckiges Festgelände so, dass zwei Eckpunkte am Fluss und eine Seite an der Straße begen. Der Bürgermeister möchte sparen und wünscht sich ein Festge lände, bei dem die Umzäunung möglichst wenig kastet

a) Wie lang ist die minimale Zaunlange um das Festgelände? Welchen Flächeninhalt in Hektar hat das Festgelande dann?

b) jemand behauptet, es sei ein Festgelände mit einer mehr als doppelt so großen Fläche wie in Tellaufgabe a) möglich, wenn man die Forderung nach einer minimalen Zaunlänge aufgibt Oberprüfen Sie diese Behauptung
Problem/Ansatz:

Ich hänge schon lange an dieser Übungsaufgabe und komme nicht weiter. Bei Optimierung weiß ich nicht weiter...

Comments

komme nicht weiter

Versuche es mal mit f(x) =2cos(2x) + 2.4

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Ja, das stimmt. aber ich weiß nicht mal allgemein wie ich bei dieser Aufgabe vorgehe...

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wie ich bei dieser Aufgabe vorgehe

Teil a):
1. Grobe Übersichtsskizze anfertigen (Straße, Fluss, Zaun)
2. Zu minimierende Größe feststellen (Hauptbedingung u = 2a+2b)
3. Nebenbedingungen aufstellen (a=a(x) , b=b(x))
4. Nb in Hb einsetzen (Zielfunktion u = u(x))
5. Mit den Mitteln der Differentialrechnung (1., 2. Ableitung) Minimum der Zielfunktion im Inneren des Definitionsbereiches (0 < x < π/2 nutzt die vorhandene Symmetrie aus) finden
6. Auf Randminimum untersuchen
7. Antwort formulieren

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Eine Straße verläuft langs der Achse

Welche Achse ist gemeint?

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Optimierung eines Flusses ... komme nicht weiter

Du sollst nicht einen Fluss optimieren. Vielleicht kommst Du dann weiter?

Erkennen sollte man, dass die Aufgabe unklar gestellt ist. So wäre die grüne Fläche ein Festgelände in Übereinstimmung mit den formulierten Bedingungen "zwei Eckpunkte am Fluss und eine Seite an der Straße".

Answer 1

Skizziere den Graphen. Die Straße ist die x-Achse und

die 2 Punkte am Fluss haben die Koordinaten.

(-x,f(x) )  und (  x, f(x) )

mit f(x) = 2cos(2x) + 2.4   und x∈[0;  pi/2]

Dann hat der Zaun die Länge u(x) = 4x+2f(x) =4x + 2(2cos(2x) + 2.4 )

           = 4cos(2x)+4x + 4,8

also u ' (x) = -8sin(2x)+4   <=>  sin(2x)=1/2

Für x∈[0;  pi/2] ist 2x ∈[0;  pi]

            also 2x=pi/6  oder 2x=5pi/6

somit   x= pi/12   oder x = 5pi/12

Jetzt schauen, wo das Minimum ist.

Reicht das schon ?

Comments

Verbessere deinen Fehler; und damit meine ich nicht die Unachtsamkeit bei ' sondern > .

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Danke, war wieder mal was zu flott.

Answer 2

1. Grobe Übersichtsskizze anfertigen (Straße, Fluss, Zaun)

Nach Zeichnen des Flusslaufes würde ich bereits die Funktionsgleichung anzweifeln. Die Aufgabe geht daher postwendend an den Aufgabensteller oder den Autor zurück.

Comments

postwendend an den Aufgabensteller... zurück

Du bist nicht auf dem Laufenden; der Sachverhalt ist doch seit meinem Kommentar von vor über 5 Stunden längst geklärt.