Wie wende ich das Quadrat in der Formel an?

Question

Aufgabe:

Die Funktion f(x)=x^3-9x^2+24x-16 schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Wenn diese Fläche um die x-Achse rotiert wird, erhält man die Form eines Kreisels. Dieser Kreisel soll nun aus Plastik hergestellt werden. Wieviel Material benötigt man, um diesen Kreisel herzustellen? (Gehen Sie davon aus, dass es keinen Verschleiß von Material gibt.)

Problem/Ansatz:

Die Nullstellen N1(1I0) und N2 (4|0) habe ich bereits als Intervallgrenzen ermittelt.

Als Stammfunktion habe ich F(x) = 3/4x^4-3x^3+12x^2-16x.

Gerechnet wird mit der Formel:

Pi * (Integral von 1 bis 4) f(x)^2 dx

(Weiß leider nicht wie man hier Formeln richtig aufschreiben kann :/)

Das Quadrat in der Formel verwirrt mich nun etwas, da ich nicht ganz weiß, wie man das unterbringt. Ich habe schon einiges probiert.

1. f(x) quadrieren und davon dann die Stammfunktion bilden, es kommen aber viel zu große Werte raus

2. F(4) und F(1) quadrieren und dann voneinander subtrahieren, der Wert ist bei mir allerdings auch zu groß

3.Die Differenz von F(4) und F(1) quadrieren

Was genau mache ich falsch? Das Kontrollergebnis ist 65,43 VE.

Meine Werte sind bei jeder Variante zu groß, schon allein da F(4) durch die vielen Exponenten deutlich größer als F(1) ist, bei welchem die 1 durch die Exponenten ja nicht wirklich beeinflusst wird.

Bin dankbar für jede Hilfe :)

Comments

Weiß leider nicht wie man hier Formeln richtig aufschreiben kann

Versuche es mit

das gibt:

\( \displaystyle \pi \int \limits_{1}^{4} \left(x^{3} - 9x^{2} + 24x - 16 \right)^{2} dx \)

Answer 1

Hallo,

1. f(x) quadrieren und davon dann die Stammfunktion bilden, es kommen aber viel zu große Werte raus

\( H(x)=\frac{1}{7} x^{7}-3 x^{6}+\frac{129}{5} x^{5}-116 x^{4}+288 x^{3}-384 x^{2}+256 x \)

\(H(4)=\frac{3072}{35}\qquad H(1)=\frac{2343}{35}\\ \frac{3072}{35}-\frac{2343}{35}=\frac{729}{35}\\ \frac{729}{35}\cdot \pi\approx65,43\)

Gruß, Silvia

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Habe meinen Fehler erkannt, vielen Dank :)

Answer 2

f(x) quadrieren und davon dann die Stammfunktion bilden, es kommen aber viel zu große Werte raus

Der Weg tönt gut, zu den "viel zu großen" Werten kann man nichts sagen, weil Du die Rechnung nicht aufgeschrieben hast.

Was genau mache ich falsch?

Das kann man nicht wissen, weil siehe oben.

Answer 3

Das pi und das ^2 kommen daher, dass du jetzt nicht den Flächeninhalt berechnen möchtest sondern das Volumen. Du lässt deine Fläche als einmal rotieren um einen Körper zu bekommen. Das macht man mit der Kreisformel pi*r^2. Dein Radius ist im dem Fall deine Funktion. Also dein Punkt 1. wäre der richtige Weg.

Answer 4

Aloha :)

Die Funktion kannst du wie folgt faktorisieren:$$f(x)=x^3-9x^2+24x-16=(x-1)(x-4)^2$$

Sie hat zwei Nullstellen, eine bei \(x=1\) und eine doppelte bei \(x=4\).

~plot~ x^3-9*x^2+24*x-16 ; [[0|5|-1|5]] ~plot~

Bei der Rotation des Graphen zwischen diesen beiden Nullstellen um die x-Achse entsteht das Volumen:$$V=\pi\int\limits_1^4f^2(x)\,dx=\pi\int\limits_1^4(x-1)^2(x-4)^4\,dx$$

Zur Integration machen wir es uns einfach und substituieren:$$u\coloneqq x-4\implies \frac{du}{dx}=1\;;\;u(1)=-3\;;\;u(4)=0\;;\;x=u+4$$wodurch sich der Integrand vereinfacht:$$V=\pi\int\limits_{-3}^0((u+4)-1)^2u^4\,du=\pi\int\limits_{-3}^0(u+3)^2u^4\,du=\pi\int\limits_{-3}^0(u^2+6u+9)u^4\,du$$$$\phantom V=\pi\int\limits_{-3}^0(u^6+6u^5+9u^4)du=\pi\left[\frac{u^7}{7}+u^6+\frac95u^5\right]_{-3}^0$$$$\phantom V=0-\pi\left(\frac{(-3)^7}{7}+(-3)^6+\frac95(-3)^5\right)=-\pi\left(-\frac{3^7}{7}+3^6-\frac95\cdot3^5\right)=\frac{729}{35}\pi$$

Dein Ergebnis \(V\approx65,43\) ist also korrekt\(\quad\checkmark\)