Wie wende ich die dritte binomische Formel an?

Question

Aufgabe:

(9x + 16z)^2 - 144 = (a*x + 16z + 12) (-12 + b*x + cz)

Finden Sie a,b,c > 0.

Problem/Ansatz:

Ich erkenne hier, dass die dritte binomische Formel anzuwenden ist aber ich verstehe nicht wie. Hätte ich dann (ax + 4z) (a - 4z) ? Ich verstehe nicht so ganz wie ich die rückwärts anwenden soll. Danke

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Schreibe den Term mit Hilfe der 3-ten binomischen Formel um:$$(9x+16z)^2-144=\underbrace{(\pink{9x+16z})^2}_{=A^2}-\underbrace{\blue{12}^2}_{=B^2}=(\;\underbrace{\pink{9x+16z}}_{=A}+\underbrace{\blue{12}}_{=B}\;)\cdot(\;\underbrace{\pink{9x+16z}}_{=A}-\underbrace{\blue{12}}_{=B}\;)$$

Ein Vergleich mit der Aufgabenstellung:$$(9x+16z)^2-144=(\red a\cdot x+16\cdot z+12)\cdot(-12+\red b\cdot x+\red c\cdot z)$$

liefert die gesuchte Lösung:$$\red a=9\quad;\quad\red b=9\quad;\quad \red c=16$$

Answer 2

Vielleicht so
( 9x + 16z)^2 - 144
3.binomische Formel
a^2 - b^2 = ( a + b ) *( a - b )
a = 9x + 16 z
b = 12

[ ( 9x + 16 z ) + 12 ] *  [ ( 9x + 16 z ) - 12 ]