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Im rechtwinkligen Dreieck gilt:$$\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac ac\quad;\quad\cos\alpha=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac bc\quad\implies$$
Daher gilt für die Quadrate:$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\left(\frac ac\right)^2+\left(\frac bc\right)^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}$$
Im rechtwinkligen Dreieck gilt auch der Pythagoras \(a^2+b^2=c^2\), sodass:$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$$
Das heißt, für alle Winkel \(\alpha\) gilt: \(\quad\pink{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\).
