unbestimmte Integral ohne trigonometrische Identität

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie ohne Verwendung trigonometrischer Identitäten das unbestimmte Integral
\( \int \cos ^{2}(5 x) d x . \)

Problem/Ansatz:

\( \begin{aligned} & \int \cos ^{2}(5 x) d x \\=& \frac{1}{5} \int \cos (u) \cos (u) d u \\=& \frac{1}{5}\left(\cos (u) \sin (u)-\int\left(-\sin (u)) \sin ^{2}(u) d u )\right.\right.\\=& \frac{1}{5}\left(\cos (u) \sin (u)+\int \sin ^{2}(u) d u\right.)\end{aligned} \)

Das ist mein Ansatz bisher. Am Anfang habe ich 5x substituiert und bekam "dx= du/5". Nächsten Schritt habe ich die partielle Integration angewendet. Normalerweise verwendet man nun den trigonometrische Pythagoras um sin^2 umzuschreiben, aber wenn ich mich nicht ganz täusche fällt das unter trigonometrischer Identitäten (was in der Aufgabenstellung nicht erwünscht ist)? Was wäre die Alternative um weitervorzugehen? Falls mein Ansatz komplett falsch ist, dann wäre ich auch über Hilfe dankbar. :)

Comments

Wende die partielle Integration erneut an und fasse die dann auftretenden unbestimmten Integrale zusammen.

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Wenn ich die partielle Integration nochmal anwende, lande ich wieder bei \( \frac{1}{5} \) \( \int\limits_{}^{} \) cos²(u) und loope es gefühlt unendlich, außer ich habe was übersehen?

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Du hast Recht. Dieser Ansatz ist wohl nicht zielführend.

Answer 1

Aloha :)

Sehr hilfreiche Identitäten sind die beiden Folgenden:$$\sin^2(x)=\frac12-\frac12\cos(2x)\quad;\quad\cos^2(x)=\frac12+\frac12\cos(2x)$$

Damit wird das gesuchte Integral ein Einzeiler:$$\int\cos^2(5x)\,dx=\int\left(\frac12+\frac12\cos(10x)\right)\,dx=\frac x2+\frac{1}{20}\sin(10x)+\text{const}$$

Ganz ohne trigonometrische Identitäten wirst du wohl nicht auskommen. Du könntest deinen Ansatz mit dem trigonometrischen Pythagoras \((\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)\) beenden.

Comments

Ich werde den trigonometrischen Pythagoras anwenden und gucke ob es einfach so gemeint ist, dass ich es nicht am direkt Anfang einsetzten soll. :) Danke dir (wieder)!