Wie kann ich den Funktionsterm aufstellen?

Question

Aufgabe

Funktionsterm eines Graphen durch ein Schaubild aufstellen

Der Hochpunkt liegt bei H(40/160)

Weitere Punkte sind P1( 20/80); P2(0/0);P3(60/0)

Comments

Wie kann ich den Funktionsterm aufstellen?

Was für eine Funktion soll es denn werden?

mögliche Lösung: s(t) = -0,005 t^3 + 0,3 t^2

---

Eine Weg-Zeit-Funktion s in Abhängigkeit von t

---

Das war nicht meine Frage. Ist die Funktion ganzrational, oder etwas trignonometrisches, oder sonstwas?

---

Es ist eine ganzrationale Funktion

---

Vielen Dank kannst du dazu einen Lösungsweg schicken ?

---

Der Lösungsweg steht unten in den Antworten.

Es ginge auch s(t) = 19/5120000·t^5 - 19/32000·t^4 + 373/12800·t^3 - 17/32·t^2 + 57/8·t

oder ganz viele andere Funktionen.

---

optimal dankeschön für die Hilfe

---

könnte man die Lösung theoretisch mit nur 3 variablen lösen quasi f(x)=ax^2 +bx+c ?

---

Versuche es, praktisch anstatt theoretisch, und wenn es keine Lösung gibt für das Gleichungssystem (was ich annehme), dann nein. Wenn doch, dann ja.

Answer 1

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(0) = 0
f(20) = 80
f(40) = 160
f'(40) = 0
f(60) = 0

Gleichungssystem

e = 0
160000a + 8000b + 400c + 20d + e = 80
2560000a + 64000b + 1600c + 40d + e = 160
256000a + 4800b + 80c + d = 0
12960000a + 216000b + 3600c + 60d + e = 0

Errechnete Funktion

f(x) = -0,005·x^3 + 0,3·x^2

Comments

Tipp. Man könnte die Zahlen kleiner machen, wenn man zuvor die X- und Y-Koordinaten durch 20 teilt und das später in der Funktionsgleichung wieder anpasst. Ich will dich damit aber nicht verwirren. Ohnehin rechnet man das meist nicht im Kopf, sondern mit einem Taschenrechner.

---

Wie kann man das Gleichungssystem lösen ?

---

Zunächst e = 0 einsetzen

160000a + 8000b + 400c + 20d = 80
2560000a + 64000b + 1600c + 40d = 160
256000a + 4800b + 80c + d = 0
12960000a + 216000b + 3600c + 60d = 0

I - 20*III ; II - 40*III ; IV - 60*III

- 4960000·a - 88000·b - 1200·c = 80
- 7680000·a - 128000·b - 1600·c = 160
- 2400000·a - 72000·b - 1200·c = 0

3*II - 4*I ; III - I

- 3200000·a - 32000·b = 160
2560000·a + 16000·b = - 80

2*II + I

1920000·a = 0 → a = 0

2560000·0 + 16000·b = - 80 --> b = -0.005

- 2400000·0 - 72000·(-0.005) - 1200·c = 0 --> c = 0.3

256000·0 + 4800·(-0.005) + 80·0.3 + d = 0 --> d = 0

Damit ist das Gleichungssystem gelöst.

Answer 2

So, wie die Aufgabe gestellt ist, gibt es viele Lösungen. Eine Polynomfunktion vierten Grades zum Beispiel hat die Form f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e mit der Ableitung f '(x)=4ax³+3bx²+2cx+d. Setze die vier gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und (0|40) in die Ableitung ein. Dann erhältst du ein System von 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten, das du sicher lösen kannst.

Answer 3

Der Hochpunkt liegt bei H(40| 160)

P1( 20|80); P2(0|0);P3(60/0)

\(f(x)=a*x*(x-60)*(x-N)\)

P1( 20|80)

\(f(20)=a*20*(20-60)*(20-N)\)

\(a*20*(20-60)*(20-N)=80\)  →   \(a*(-40)*(20-N)=4\)→

1.)

\(-10a*(20-N)=1\)

H(40/160)

\(f(40)=a*40*(40-60)*(40-N)=160\)

\(a*(-20)*(40-N)=4\)  →

2.)

\(a*(-5)*(40-N)=1\)

\(a=-\frac{1}{200} \)       \(N=0\)

\(f(x)=-\frac{1}{200}*x^2*(x-60)\)

Answer 4

könnte man die Lösung theoretisch mit nur 3 variablen lösen quasi f(x)=ax2 +bx+c ?

Wie wäre es mit 2 Variablen? Wenn Dir das Schaubild vorliegt, dann siehst Du ja dies hier:

https://www.desmos.com/calculator/5tkconm0sd

Wenn man nun sieht, dass die Punkte \(H\) und \(P_2\) symmetrisch zu \(P_1\) liegen, handelt es sich bei \(P_1\) i.A. um den Wendepunkt der kubischen Funktion. Ist der Wendepunkt \((x_w,\,y_w)\)  bekannt (so wie meistens!), so kann man die ganzrationale Funktion 3.Grades immer so angeben:$$f(x)=a(x-x_w)^3 + c(x-x_w) + y_w$$Dann bleiben nur die Parameter \(a\) und \(c\). Also inklusive Ableitung heißt das hier$$f(x)=a(x-20)^3 + c(x-20) + 80 \\ f'(x)= 3a(x-20)^2+c$$mit der Information \(H\) := Hochpunkt und \(P_2\) wird daraus$$f'(40)=0 \implies 1200a + c = 0 \\ f(0)=0 \implies -8000a -20c = -80 $$Die zweite Gleichung durch 20 dividieren und die erste hinzu addieren liefert $$\implies 800a = -4 \implies a=-\frac{1}{200} \quad \implies c = 6$$Oben die Werte für \(a\) und \(c\) einsetzen und ausmultiplizieren und fertig!