Wie berechne ich den Grenzwert mit zwei Variabeln in Bezug auf ln(1+x^2)?

Question

Aufgabe:

Berechne mithilfe der Taylorapproximation den Grenzwert von

Text erkannt:

b) \( \lim \limits_{\left(x_{1}, x_{2}\right) \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x_{1}^{2}\right)+\ln \left(1+x_{2}^{2}\right)}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} \).

Problem/Ansatz:

ich weiss dass

Text erkannt:

\( \begin{aligned} \ln (1+x) & =x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{5}}{5}-\ldots \\ & =\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{(n-1)} \frac{x^{n}}{n} \stackrel{\text { or }}{=} \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}\end{aligned} \)

entspricht aber nicht wie ln(1+x^2) aussieht. Kann mir jemand eine kleine Starthilfe geben?

Answer 1

Benutze die o-Notation:

\(\ln (1+x) = x+o(x)\), wobei \(\frac {o(x)}x\stackrel{x\to 0}{\longrightarrow}  0\)

Damit hast du:

\( \frac{\ln \left(1+x_{1}^{2}\right)+\ln \left(1+x_{2}^{2}\right)}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} = \frac{x_1^2+x_2^2 + o(x_1^2) + o(x_2^2)}{x_1^2+x_2^2}\)

\(= 1 + \frac{o(x_1^2) + o(x_2^2)}{x_1^2+x_2^2}\stackrel{(x_1,x_2)\to (0,0)}{\longrightarrow} 1\)

Denn

\(\frac{|o(x_1^2)| }{x_1^2+x_2^2}\leq\frac{|o(x_1^2)| }{x_1^2} \stackrel{(x_1,x_2)\to (0,0)}{\longrightarrow} 0\).

Analog für \(x_2\).

Comments

Vielen Dank <3

Answer 2

Starthile: \(\ln(1+x^2)=x^2-x^4/2+x^6/3-x^8/4+- ...\)

Answer 3

Substituiere z=x² in ln(1+x²)  und wende dein oben notiertes Wissen auf ln(1+z) an. Resubstituiere anschließend.

Answer 4

Hallo

setze die Taylorreihe  ein statt x einfach x^2, bis x^3 ein, dann trenne aus in (x1^2+x2^2 ), x1^4+x2^4 , x1^n+x2^n) jeweils mit dem Nenner x1^2+x2^2

dann siehst du den GW wenn du kürzest.

Gruß lul