In deinem Ansatz verwendest du fälschlicherweise das Vektorprodukt. Du musst aber das Skalarprodukt verwenden.
Wir haben
$$n_E = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\; u_{PQ} = Q-P = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Wenn \(u_g = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) den Richtungsvektor der gesuchten Geraden bezeichnet, muss gelten
$$n_E \cdot u_g = x+y = 0 \Rightarrow u_g =\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ z \end{pmatrix} \text{ ist mögliche Lösung}$$ $$u_{PQ}\cdot u_g = -3-2 + z = 0 \Rightarrow z=5$$
Damit haben wir \(u_g =\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}\)
Nun gibt es Menschen, die senkrecht und orthogonal unterscheiden und bei senkrecht einen nichtleeren Schnitt fordern. Deshalb lassen wir die Gerade g zum Beispiel durch den Punkt P laufen:
$$g:\: P + tu_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}\quad (t \in \mathbb R)$$
Da P nicht in E liegt, ist die Gerade auch echt parallel zu E und liegt nicht zufälligerweise in der Ebene E.
