Aloha :)
Auslöschung vermeiden heißt, Subtraktion etwa gleich großer Zahlen vermeiden.
zu 1) Für \(x\approx y\) sind die beiden Logarithmen etwa gleich. Das pinke Minuszeichen ist daher schlecht für numerische Berechnungen. Forme mit den Logarithmengesetzen um$$\ln(x)\pink-\ln(y)=\ln\left(\frac xy\right)$$
zu 2) Für \(x\gg1\), also für \(x\) sehr viel größer als \(1\), ist \(\frac1x\) sehr nahe bei Null. Die beiden Wurzelterme sind also etwa gleich groß. Das Minuszeichen zwischen ihnen ist daher ein Problem. Wir erweitern den Ausdruck so, dass wir die dritte binomische Formel nutzen können$$\sqrt{1+\frac1x}\pink-\sqrt{1-\frac1x}=\frac{\left(\sqrt{1+\frac1x}\pink-\sqrt{1-\frac1x}\right)\left(\sqrt{1+\frac1x}+\sqrt{1-\frac1x}\right)}{\left(\sqrt{1+\frac1x}+\sqrt{1-\frac1x}\right)}$$$$\qquad=\frac{\left(\sqrt{1+\frac1x}\right)^2-\left(\sqrt{1-\frac1x}\right)^2}{\sqrt{1+\frac1x}+\sqrt{1-\frac1x}}=\frac{\left(1+\frac1x\right)-\left(1-\frac1x\right)}{\sqrt{1+\frac1x}+\sqrt{1-\frac1x}}=\frac{\frac2x}{\sqrt{1+\frac1x}+\sqrt{1-\frac1x}}$$$$\qquad=\frac{2}{x\left(\sqrt{1+\frac1x}+\sqrt{1-\frac1x}\right)}=\frac{2}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}$$Das verbliebene Minuszeichen ist unkritisch, da ja \(x\gg1\) gilt.
