Approximation und Taylorpolynom

Question

Aufgabe:

Es sei f(x)=2x^3-4x+3

Berechne

1. T_(f,n)(x,x_0) für x_0=0 und n=0,1,2...

2. T_(f,n)(x,x_0) für x_0=1 und n=0,1,2..

Schätze den maximalen Fehler der Approximation |f(x)- T_(f,n)(x,x_0)| nach oben durch eine Konstante ab für

a.)  x_0=0, n=2 und x aus [-1,2]

b.) x_0=0, n=1 und x aus [-1,2]

c.) x_0=1, n=1, und x aus [0.25, 1.5]

d.) x_0=0, n=5 und $$x \in \mathbb{R}$$

Problem/Ansatz:

Answer 1

Zu 2.:

Setze \(z=x-1\), also \(x=z+1\) in \(f\) ein:

\(2(z+1)^3-4(z+1)+3=2z^3+6z^2+2z+1=\)

\(=2(x-1)^3+6(x-1)^2+2(x-1)+1\).

Answer 2

Wobei hast du genau Schwierigkeiten. Bereits das Taylorpolynom aufzustellen?

1.

An der Stelle x0 = 0

T2(x) = 3 - 4·x + 0·x^2 + [2·x^3]

An der Stelle x0 = 1

T2(x) = 1 + 2·(x - 1) + 6·(x - 1)^2 + [2·(x - 1)^3]

Die eckigen Klammern sind dabei nur für die Fehlerabschätzung. Sie gehören eigentlich nicht mit zum Taylorpolynom.