Gilt /w/ < 1 und /z/ <= 1 dann /(z-w)/(1-wz)< 1

Question

Text erkannt:

Es seien \( z, w \in \mathbb{C} \) beliebig. Zeigen Sie:
(a) \( |z+w|^{2}+|z-w|^{2}=2\left(|z|^{2}+\left|w^{2}\right|\right) \). Was bedeutet dies geometrisch?
(b) Gilt \( |w|<1 \) und \( |z| \leq 1 \), dann ist
\( \left|\frac{z-w}{1-\bar{w} z}\right| \leq 1 \)

Text erkannt:

Es seien \( z, w \in \mathbb{C} \) beliebig. Zeigen Sie:
(a) \( |z+w|^{2}+|z-w|^{2}=2\left(|z|^{2}+\left|w^{2}\right|\right) \). Was bedeutet dies geometrisch?
(b) Gilt \( |w|<1 \) und \( |z| \leq 1 \), dann ist
\( \left|\frac{z-w}{1-\bar{w} z}\right| \leq 1 \)

Problem/Ansatz:

Für a) habe ich bereits einen Beweis, aber das mit dem geometrisch irritiert mich. Bei b) fällt es mir wirklich sehr schwer dafür eine Lösung zu finden. Hat jemand vielleicht eine Lösung dafür für mich?

Comments

a) Im von 0, z, w, z+w aufgespannten Parallelogramm ist die Länge der Diagonalen |z+w| und |z-w|, die Länge der Seiten, |z| und |w|.

Man nennt das auch Parallelogrammgleichung: https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogrammgleichung

Answer 1

Da (a) schon oben geklärt wurde, mach ich nur (b).

Ich werde folgenden Sachverhalt brauchen:

$$|w|<1, |z|\leq 1 \Rightarrow (1-|z|^2)(1-|w|^2)\geq 0$$ Ausmultiplizieren und Umordnen gibt dann

$$\color{blue}{1+|z|^2|w|^2 \geq |z|^2+|w|^2 \quad (1)}$$

Weiterhin gilt

$$\left|\frac{z-w}{1-\bar{w} z}\right| \leq 1 \Leftrightarrow |z-w|^2\leq |1-\bar{w} z|^2$$

Jetzt rechnen wir nach:

\(|z-w|^2 = (z-w)(\bar z - \bar w) ={\color{blue}{|z|^2 + |w|^2}}  - 2Re(z\bar w)\)

\(|1-\bar{w} z|^2 = (1-\bar{w} z)(1-w\bar{z}) = {\color{blue}{1+|z|^2|w|^2}} - 2Re(z\bar w)\)

Mit \(\color{blue}{(1)}\) folgt jetzt die Behauptung.

Comments

Fehlt bei \(\color{blue}(1)\) ein \(\color{blue}+\) ?

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Ooops. Ja. Danke!

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Vielen lieben Dank!!