Lösungsmenge Ungleichungen / Fallunterscheidungen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz

hänge seit Stunden an der obigen Aufgabe.

Bin wie folgt vorgegangen durch Multiplikation und umformen die Ungleichung auf:

x < ax +1  reduziert. Dann weiß ich allerdings nicht mehr weiter, ich weiß dass ich einige Fallunterscheidungen machen muss, aber mir ist nicht bewusst woher ich genau weiß welche.

Bin für jede hilfe dankbar.

Answer 1

Aloha :)

Hier ist \(\alpha\in\mathbb R^{>0}\) und \(x\in\mathbb R^{>0}\setminus\{1\}\).

Wir betrachten die Ungleichung:$$\frac{1}{\alpha x}<\frac{1}{x-1}$$Für \(0<x<1\) gibt es keine Lösung, weil die linke Seite dann positiv und die rechte Seite negativ ist.

Es ist also \(\pink{x>1}\). Dafür sind beide Seiten der Ungleichung positiv und du kannst die Kehrwerte bilden:$$\frac{1}{\alpha x}<\frac{1}{x-1}\;\;\stackrel{(x>1)}{\Longleftrightarrow}\;\;\alpha x>x-1\;\;\stackrel{-x}{\Longleftrightarrow}\;\;\alpha x-x>-1\;\;\Longleftrightarrow\;\;\green{x\cdot(\alpha-1)>-1}$$

1. Fall: \(\alpha>1\)

Es ist \((\alpha-1)>0\) und daher \(\green{x>-\frac{1}{\alpha-1}}\). Das ist keine weitere Einschränkung gegenüber \(\pink{x>1}\). Weiterhin sind alle \(x>1\) Lösungen.

2. Fall: \(\alpha=1\)

Die Forderung lautet nun: \((\green{0>-1})\). Das ist sicher wahr, sodass es auch hier gegenüber \(\pink{x>1}\) keine weiteren Einschränkungen gibt. Weiterhin sind daher alle \(x>1\) Lösungen.

3. Fall: \(0<\alpha<1\)

Es ist \((\alpha-1)<0\) und daher \(\green{x<-\frac{1}{\alpha-1}}=\frac{1}{1-\alpha}\). Diese Bedingung liefert uns eine neue Obergrenze für die \(x\). Es sind alle \(1<x<\frac{1}{1-\alpha}\) Lösungen.

Wir fassen zusammen:$$\frac{1}{\alpha x}<\frac{1}{x-1}\quad\text{gilt für }\left\{\begin{array}{ll}x>1&\text{falls }\alpha\ge1\\[1ex]1<x<\frac{1}{1-\alpha} &\text{falls }0<\alpha<1\end{array}\right.$$

Answer 2

über Kreuz multiplizieren:

1. Fall: x>1

x-1 < ax

x-ax <1

x(1-a)< 1

x < 1/(1-a)

2. Fall: x<1

x-1> ax

x > 1/(1-a)

Answer 3

Da \(\alpha>0\) und \(x>0\), folgt aus

\(0<\frac{1}{\alpha x}< \frac{1}{x-1}\quad(*)\), dass

\(x-1 > 0 \) sein muss. Geht man nun in der

Ungleichung \((*)\) zu den Kehrwerten über, so erhält man

\(\alpha x > x-1\), d.h. \((1-\alpha)x< 1\) . Ist \(\alpha \geq 1\) so ist \((*)\)

erfüllt für beliebige \(x\in \mathbb{R}^+\) mit \(x>1\).

Im Falle \(\alpha < 1\) muss \(1< x < \frac{1}{1-\alpha}\) sein.