Aloha :)
Betrachte die Funktion:$$f(x)=x^2-x-1=x^2-x+\underbrace{\frac14-\frac54}_{=-1}=\left(x^2-x+\frac14\right)-\frac54=\left(x-\frac12\right)^2-\frac54$$
1. Fall: \(x+1>x^2\)$$\implies x^2-x-1<0\implies f(x)<0\implies\left(x-\frac12\right)^2-\frac54<0$$$$\implies\left(x-\frac12\right)^2<\frac54\implies\left| x-\frac12\right|<\frac{\sqrt5}2\implies-\frac{\sqrt5}2<x-\frac12<\frac{\sqrt5}2$$$$\implies\frac12-\frac{\sqrt5}2<x<\frac12+\frac{\sqrt5}2\implies x\in\left(\frac{1-\sqrt5}2\,\bigg|\,\frac{1+\sqrt5}2\right)$$
2. Fall: \(x+1<x^2\)
Hier ist nun nicht mehr viel zu tun, wir müssen einfach den Bereich außerhalb des obigen Intervalls, ohne die Ränder wählen. (An den Rändern herrscht Gleichheit.) Also haben wir hier:$$x<\frac{1-\sqrt5}{2}\;\lor\;x>\frac{1+\sqrt5}2$$
