Textaufgabe zum bestimmen der gemeinsame Lösungsmenge von linearen Gleichungen und Ungleichungen

Question

Textaufgabe aus dem Bereich der Optimierung:

a) Bestimmen sie graphisch die gemeinsame Lösungsmenge des folgenden Systems von linearen Gleichungen und Ungleichungen:

x + y ≥ 2

x - y ≤ 1

     y ≤ x

y + 1 = 2x

b) Über der in a) definierte Menge soll die Funktion

Z(x, y) = 17x + 25y

maximiert werden. In welchen Punkt (x, y) wird das Maximum angenommen, und wie lautet der maximale Wert von Z?

Weihnachtliche Grüsse Tommy

Answer 1

Aus den Bedingungen
x + y ≥ 2
x - y ≤ 1
y ≤ x
y + 1 = 2x

ergeben sich die Gleichungen
y1 ≥ 2 - x
y2 ≥ x + 1
y3 ≤ x
y4 = 2 * x -1

Die Lösung liegt bei
über / gleich blau
unter rot
unter / gleich grün
gleich ocker

Schnittpunkt ocker / grün
oder ocker blau

( 1 | 1 )

Comments

zu b.)
Die Lösung muß auf der ockerfarbenen Geraden
liegen.
Hier kommt nur der Punkt ( 1 | 1 ) in Frage.
Heißt es in der Frage wirklich

y + 1 = 2x
oder soll es eine Ungleichung sein?

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Falls du zu meiner Antwort Fragen hast, dann nur
zu.
Ansonsten : kannst du vielleicht ein Foto der
Aufgabe einstellen ?

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Die Bedingung ist y + 1 = 2x.

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Dann steht die Antwort schon da.

( 1 + 1 ) * 500

Deine andere Aufgabe wird hat eine
üblichere Lösung.

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Servus.

Wenn ich von der 2. Bedingung ausgehe und die 2. Nebenbedingung forme, rechne ich +y und -1. Somit tauschen die ja ihre Seiten.

d.h. Y wäre in diesem Fall >=x-1 und NICHT >=x+1

Somit würde dann auch nicht die Lösungsmenge der Ungleichungen übereinstimmen.

MfG

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Da hast du recht. Es muß heißen
y2 ≥ x minus 1

Der Schnittpunkt für alle bleibt
allerdings bei ( 1 | 1 ).

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Das lineare max Programm OHNE die Gleichung ist als "Problem nicht begrenzt!"

Was einmal zu "sehen" ist, wenn man das Lösungsgebiet zeichnet oder rechnet - der Simplex hängt nach dem 2. Schritt. Die Gleichung trifft das Lösungsgebiet aber an der Ecke (1,1)

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Hallo wächter, drück dich einmal klar aus.
Ich habe die Skizze nochmals mit der
geänderten 2.Gleichung gezeichnet.
Auch hier ist die Lösung ( 1 | 1 )

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Wächter hat Recht. Dennoch ändert es ja wie bereits festgestellt nichts an dem Resultat.

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@Georg

Ich komm mit Deiner Skizze nicht klar

Das Lösungsgebiet ist "nach oben" nicht begrenzt. Die Zielfunktion (rote Gerade)  kann nur am Minimum angelegt werden - Max kann nur gefunden werden, weil g4 (die Gleichung) einen Eckpunkt des Lösungsgebietes trifft.

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Über blau,
über rot,
unter grün

   

gent noch weiter

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und die letze Funktion
ocker ( 1 | 1 )

( 1 | 1 ) ist der einzige Punkt der alle 4 Funktionen
erfüllt.

Answer 2

Du sollst die Gleichungen doch nur in ein Koordinatensystem einzeichnen. Habt ihr das noch nicht gemacht gehabt? Wo liegen genau die Probleme.

Eine Kontroll-Lösung liefert dir Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+17x%2B25y+with+x%2By>%3D2+and+x-y<%3D1+and+y<%3Dx+and+y%2B1%3D2x

max{17 x + 25 y|x + y>=2 ∧ x - y<=1 ∧ y<=x ∧ y + 1 = 2 x} = 42 at (x, y) = (1, 1)

Comments

Zum Beispiel

x + y >= 2

y >= 2 - x

Ich trau dir durchaus zu dieses als lineare Funktion einzuzeichnen und dann den Lösungsbereich zu markieren.

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Mein Problem ist, dass ich solche Aufgaben das letzte Mal vor 30 Jahren! lösen musste und ich mich aktuell wieder mit diesem Thema beschäftigen bzw. einlesen muss. 

Ich bin für jede Erklärung der Lösungsschritte dankbar, die mir weiterhelfen solche Aufgaben ohne diverse Hilfsmittel zu lösen.

Danke für euer Verständnis.