Wie bestimmt man die Lösungsmenge bei linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten?

Question

Aufgabe:

Geben Sie bei den linearen Gleichungen die Lösungsmenge an: x + 2y + 3z + 16 = 0

Mein Lösungsweg: Zuerst einmal nach x auflösen.

x=-16-2y-3z

Nun ist meine Frage, ob ich dies noch weiter auflösen kann? Ich muss hier etwas ausholen. Wir haben dies an folgenden Beispiel gelernt:

4x-2y=1

y=-0.5+2x

Nun ist die Lösung, die folgende: Lösungsmenge = { (x, -0.5+2x) | x Element von R } | x ist frei wählbar!

Nun nochmals zurück auf meine Aufgabe. Müsste ich nun den Term "-16-2y-3z" noch weiter kürzen? Damit meine ich folgendes:

0=-16-2y-3z
2y=-16-3z
y=-8-1.5z

Dies würde dann zur folgenden Lösung führen: Lösungsmenge = { (-16-2y-3z, -8-1.5z, z) | z Element von R }

In den Lösungen steht jedoch folgendes: Lösungsmenge = { (-16-2y-3z,y,z) | y,z Element von R }

Jetzt ist meine Lösung { (-16-2y-3z, -8-1.5z, z) | z Element von R } auch richtig oder warum ist sie falsch?

Answer 1

Hallo

nein, du hast jetzt 2 Parameter, die du frei wählen kannst,  in deinem Beispiel war es nur x, jetzt z und y,

deine Gleichung : 0=-16-2y-3z wählt ja ein ganz spezielles x nämlich x=0  das kannst du ja nicht einfach festlegen, wenn du vorher sagst x=-16-2y-3z kannst du y und z beliebig wählen, daraus folgt dann ein bestimmtes x. aber nur für spezielle y,z ist x=0

Gruß lul

Comments

lul

Danke vielmals. Stimmt, jetzt ist es mir klar.

Freundliche Grüsse
Welt

Answer 2

Hallo,

Bei 3 Unbekannten braucht man auch mindestens 3 Gleichungen für die Lösung. Du hast nur eine Gleichung und damit ist die Aufgabe nicht lösbar!

Answer 3

Da durch zu schauen welche Aussage wohin gehört - spannend.

Grundsätzlich:

Eine Gleichung 3 Unbekannte ===> bestimme 1e davon durch die 2 (unbestimmt) anderen.

und kürzen kann man Brüche...

Answer 4

In der Lösung muss alles mit 2 Variablen ausgedrückt werden, z.B. mit y und z. Dann ist (-16-2y-3z|y|z) eine mögliche Lösung.