Weshalb sagt man zu linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten immer noch "lineare Gleichungen"?

Question

In der Wikpedia ist zu lesen:

"Allgemein heißt eine skalare Gleichung mit n Unbekannten \( x_1, x_2, \ldots , x_n \) linear, wenn sie durch Äquivalenzumformungen in die Form

$$ a_1 x_1 + a_2 x_2 +\;\cdots \; + a_n x_n = b $$

gebracht werden kann, wobei \(a_1, a_2, \ldots , a_n\) und \(b\) Konstanten sind. Es dürfen also ausschließlich Linearkombinationen der Unbekannten auftreten."

Ich frage mich nun, weshalb man - soweit ich mich erinnere - in der Schule lernt, dass eine lineare Gleichung nur 1 Unbekannte habe und als Linie dargestellt werden kann. Daher "linear". Tatsächlich scheint der Sachverhalt wie oben beschrieben ein anderer zu sein.

Wer kann hier aufklären? Welche Begründung steckt hinter den "linearen Gleichungen"?

Comments

Bei linearen Gleichungen kommt nur die 1. Potenz der Variablen vor, egal wie viele Variable / Unbekannte.

Du kennst ab der 8./9. Klasse ax + by = c.

Daher sind Gleichungen, die Geraden im R^2 beschreiben, lineare Gleichungen.

EDIT (Nachtrag): Eine Gerade und eine Linie ist nicht dasselbe.

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Danke für den Potenzhinweis. Ich hatte mich von der Anzahl an Unbekannten verwirren lassen und dabei schon an Vektoren gedacht und schließlich so nicht mehr die Potenzen im Blick.

Es wäre hilfreich, wenn sich dieser grundsätzliche Hinweis auch in der Wikipedia unter "Lineare Gleichungen" finden würde!

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Naja. Ein Gleichungssystem

x * y = a

x + y = b

nennt man nicht linear weil hier die Variablen x und y nicht in Linearkombinationen vorkommen.

Trotzdem steht hier jede Variable nur in der 1. Potenz. Also nicht alle Gleichungen bei denen x und y in der 1. Potenz stehen nennt man linear. Vielleicht fehlt daher ein Hinweis auf Wikipedia?

Answer 1

linear kommt eigentlich mehr auf:
jede Variable ist nur mit der Hochzahlk 1 oder 0
vertreten.
typisch nicht linear ist z.B. etwaqs quadratisches mit x^2 etc.

Answer 2

In der Schule lernt man die linearen Funktionen kennen:

Das sind Geraden im Koordinatensystem.

Lineare Gleichungen kann man dazu benutzen z.B. den Schnittpunkt zweier Linearer Funktionen zu bilden.

Lineare Gleichungssysteme können aber auch benutzt werden einen Schnittpunkt von drei Ebenen im Raum zu berechnen.