Berechne die Ableitung der Funktion f : [0,∞) →R mit

Question

Aufgabe:

Berechne die Ableitung der Funktion f : [0,∞) →R mit

Text erkannt:

$f(x)=\int \limits_{0}^{e^{x}+\arctan (x)} \cos \left(t^{2}\right) d t$

Comments

Für die Stammfunktion:

https://www.integralrechner.de/

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Super$$tipp!

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@Arsinoé4
Stimme ich voll zu. :-D

Answer 1

Aloha :)

Ach, die Leibnizregel habe ich auch länger nicht gebraucht...$$F(y)=\int\limits_{\green{u(y)}}^{\red{o(y)}}f(x;y)\,dx\implies$$$$F'(y)=f(\red{o(y)};y)\cdot\red{o'(y)}-f(\green{u(y)};y)\cdot\green{u'(y)}+\int\limits_{\green{u(y)}}^{\red{o(y)}}\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}\,dx$$

Du musst jeweils die obere Grenze, die untere Grenze und den Integranden ableiten.

Unser Patient sieht so aus:$$f(x)=\int_{\green0}^{\red{e^x+\arctan(x)}}\cos(t^2)\,dt$$

Daher ist die geuschte Ableitung:$$f'(x)=\cos\left(\left(\red{e^x+\arctan(x)}\right)^2\right)\cdot\left(\red{e^x+\arctan(x)}\right)'$$

Der zweite Term fällt weg, weil die Ableitung der unteren Grenze null ist.

Der dritte Term fällt weg, weil der Integrand nicht von $x$ abhängt.

Damit haben wir das Problem auf die Ableitung von $\arctan(x)$ reduziert:

$$y=\arctan(x)\implies x=\tan(y)=\frac{\sin(y)}{\cos(y)}\quad\implies$$$$\frac{dx}{dy}=\frac{\cos(y)\cos(y)-\sin (y)\cdot(-\sin(y))}{\cos^2(y)}=\frac{\cos^2(y)+\sin^2(y)}{\cos^2(y)}=1+\tan^2(y)$$$$\phantom{\frac{dx}{dy}}=1+\tan^2(y=\arctan(x))=1+x^2\quad\implies$$$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$$

Die gesuchte Ableitung ist also:$$f'(x)=\cos\left(\left(\red{e^x+\arctan(x)}\right)^2\right)\cdot\left(e^x+\frac{1}{1+x^2}\right)$$

Answer 2

Hallo

weisst du denn was rauskommt, wenn die obere Grenze x ist? dann musst du einfach die Kettenregel anwenden.

Gruß lul

Comments

Frage: Wo kommen solche Integrale in der Realität oder angewandten

Wissenschaft vor? Hätte jemand ein konkretes Beispiel?

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Das Grundgesetz des Universums lautet, dass ein physikalisches System zwischen seinen möglichen Zuständen immer in der kürzest-möglichen Eigenzeit wechselt.

In der relativistischen Quantenfeldtheorie kann jedes physikalische System vollständig durch Wirkungsintegrale beschrieben werden. Um die schnellsten Zustands-Übergänge zu finden, müssen diese Integrale abgeleitet werden.

Daher tauchen solche Integrale in der theoretischen Physik oft auf.