Aloha :)
Ach, die Leibnizregel habe ich auch länger nicht gebraucht...F(y)=u(y)∫o(y)f(x;y)dx⟹F′(y)=f(o(y);y)⋅o′(y)−f(u(y);y)⋅u′(y)+u(y)∫o(y)∂y∂f(x;y)dx
Du musst jeweils die obere Grenze, die untere Grenze und den Integranden ableiten.
Unser Patient sieht so aus:f(x)=∫0ex+arctan(x)cos(t2)dt
Daher ist die geuschte Ableitung:f′(x)=cos((ex+arctan(x))2)⋅(ex+arctan(x))′
Der zweite Term fällt weg, weil die Ableitung der unteren Grenze null ist.
Der dritte Term fällt weg, weil der Integrand nicht von x abhängt.
Damit haben wir das Problem auf die Ableitung von arctan(x) reduziert:
y=arctan(x)⟹x=tan(y)=cos(y)sin(y)⟹dydx=cos2(y)cos(y)cos(y)−sin(y)⋅(−sin(y))=cos2(y)cos2(y)+sin2(y)=1+tan2(y)dydx=1+tan2(y=arctan(x))=1+x2⟹dxdy=1+x21
Die gesuchte Ableitung ist also:f′(x)=cos((ex+arctan(x))2)⋅(ex+1+x21)