ExistierteineProjektionf:R^3 →R^3 mit f(5,7,3)=f(2,4,0)̸=(0,0,0)?

Question

Aufgabe:

ExistierteineProjektionf:R^3 →R^3 mit f(5,7,3)=f(2,4,0)̸=(0,0,0)?

Problem/Ansatz:

Anmerkung zu frage / diese Zeichen soll eigentlich auf der letzten = Zeichen drauf seien

Ich brauche allgemein Hilfe ich kriege diese Aufgabe garnicht hin danke

Answer 1

f(5,7,3)=f(2,4,0)  ==>  f(5,7,3)-f(2,4,0) = (0,0,0)  wegen Linearität:

                    ==>  f ((5,7,3)-(2,4,0) )=  (0,0,0)

                        ==>  f (3,3,3))=  (0,0,0)

                         ==>  f (1,1,1))=  (0,0,0).

Jetzt (1,1,1) zu einer Basis von R^3 ergänzen etwa

(1,1,1) ;(1,0,0);  (0,1,0)   und deren Bilder festlegen, etwa

f(1,0,0) = (1,0,0);  f(0,1,0) =  (0,1,0)

==>  0 = f(1,1,1) = f(1,0,0) + f(0,1,0) + f(0;0;1)

                     = (1,0,0) + (0,1,0) + f(0;0;1)

==>    f(0;0;1) =  (-1;-1;0).

Also ist die Abbildungsmatrix

1    0    -1
0   1    -1
0    0     0.

Comments

bleibt noch zu erwähnen, dass dies nicht die einzige Lösung ist.

f(1,0,0) = (1,0,0);  f(0,1,0) =  (0,1,0)

dies ist ja willkürlich.

Sei der Richtungsvektor der Projektion \(\vec d = \begin{pmatrix} 1& 1&1 \end{pmatrix}^T\) und \(\vec n\) ein (fast) beliebiger Normalenvektor der Projektionsebene, so ist jede Abbildungsmatrix \(A\)$$ A= \left(\underline 1 - \frac{\vec d\vec n^T} {\vec d^T \vec n}\right), \quad \vec d^T \vec n \ne 0 \space \text{(!)}$$eine Projektion, die obige Bedingung erfüllt.

\(\vec n = \begin{pmatrix} 0& 0&1 \end{pmatrix}^T\) führt zu der Lösung von mathef.

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dies ist ja willkürlich.

Genau, daher die Formulierung mit "etwa" !