Question

Für welche Werte von c ∈ R besitzt das lineare Gleichungssystem Ax = 0 nichttriviale Lösungen x ≠ 0?

Gegeben ist die Matrix A

\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}2+c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2-c & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -c & -1 \\ 2 & -4 & 1 & -c\end{array}\right) \)

Mein Ansatz wäre gewesen eine Determinante auszurechnen, sodass b eingesetzt: D = 0 ergibt. Die zutreffenden b-Werte hätte ich dann ausgegrenzt, um schlussendlich die Frage zu beantworten ( Da LGS' mit D=0 ja singulär sind, und ich aber ein reguläres haben möchte). Meine Lösung: L= {b ∈ R | b ≠ 3 & b ≠ -3 }

Mein Prof geht aber wie folgt vor (und hier kommt die eigentliche Frage): Er rechnet det(A) = 0 und grenzt dann aber das Ergebnis nicht aus, sondern gibt dieses als Lösung an, sodass für b = 3 oder b = -3 das Gleichungssystem Ax=0 nichttriviale Lösungen besitzt.

Ich will nicht verstehen, weshalb das richtig sein soll... Wenn det(A) ≠ 0 , dann habe ich doch nichttriviale Lösungen?! Wenn det(A) = 0 dann gibt es doch unendlich viele, bzw. gar keine Lösung...b-Werte, für die gilt: det(A) = 0  sind doch "ungewollt" in diesem Zusammenhang??

LG

Comments

Wenn det(A)≠0 ist, dann gibt es eine eindeutig bestimmte (Nicht: nichttriviale) Lösung. Bei einem homogenen Gleichungssystem ist das die triviale Lösung.

Triviale bzw. nichttriviale Lösungen von inhomogenen Gleichungssystemen kenne ich nicht.

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Naja die triviale Lösung bei einem homogenen Gleichungssystem wäre doch, wenn ich den x-Vektor mit dem die Matrix A multipliziert wird einfach ein Nullvektor ist? D. h., wenn ich eine nichttriviale Lösung suche, dann suche ich doch c-Werte, die so in die Matrix passen, dass A * x = 0 aufgeht. Und das ist dann nicht eindeutig?

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A*x = 0 ist immer lösbar, gesucht sind nichttriale. Die triviale Lösung eines homogenen Gleichungssystems ist (0,...,0), weil die immer vorhanden ist.

Ein Objekt ist eindeutig bestimmt, wenn es das einzige mit der gefordeten Eigenschaft ist. Eindeutigkeit ist eine Eigenschaft von Abbildungen.

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Ich korrigiere mich: Wenn eine Zuordnung eindeutig ist, nennt man sie eine Abbildung.

Answer 1

Für \(c=2\) und für \(c=-2\) hat die Matrix eine Nullzeile, also das Gleichungssystem \(Ax=0\) eine nicht-triviale Lösung.

Bei \(c\neq -2\) kann man in der ersten Spalte die 1 und die 2 mittels der ersten Zeile elliminieren.

Bei \(c\neq 2\) kann man in der zweiten Spalte die -2 und die -4 mittels der zweiten Zeile elliminieren.

Übrig bleibt die Matrix

         \(\begin{pmatrix}2+c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2-c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -c & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -c\end{pmatrix}\)

Comments

Ich will nicht verstehen, weshalb das richtig sein soll... Wenn det(A) ≠ 0 , dann habe ich doch nichttriviale Lösungen?! Wenn det(A) = 0 dann gibt es doch unendlich viele Lösungen von x, für die gilt: det(A) = 0. Aber ist nicht eigentlich gemeint, dass ich eine eindeutige Lösung suchen soll?

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Wenn det(A) ≠ 0 , dann habe ich doch nichttriviale Lösungen?!

Wenn det(A) ≠ 0 ist, dann hat die Gleichung Ax=0 genau eine Lösung. Nämlich x=0.

Wenn det(A) = 0 ist, dann hat die Gleichung Ax=0 unendlich viele Lösungen. Eine dieser Lösungen ist x=0. Weil das unabhängig von A immer eine Lösung ist, wird diese Lösung als trivial bezeichnet.

Answer 2

Dieser Fall ist nicht zu verwechseln mit \( Ax=b \), wo ein invertierbares \( A \) die eindeutige Lösung \( x=A^{-1}b \) liefert.

Im homogenen Fall folgt aus \( Ax=0 \), dass \( x \in \ker(A) \) gilt. Ist \( A \) regulär, so besitzt die Matrix vollen Rang und die Dimension des Kerns ist 0 (Dimensionsformel). Es folgt dann \( x=0 \) als einzige Lösung. Ist die Matrix singulär, so gibt es mindestens eine Nullzeile in der Zeilenstufenform. Es ist also \( \dim \ker(A) >0\). Es gibt damit mindestens einen Basisvektor \( v \neq 0 \) im Kern und somit unendlich viele (nichttriviale) Lösungen.

Answer 3

Aloha :)

Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix \(A\) von Null verschieden ist, ist die Matrix \(A\) invertierbar. Die einzige Lösung des Gleichungssystems \(A\cdot\vec x=\vec 0\) ist dann die triviale Lösung \(\vec x=\vec 0\):$$A\cdot\vec x=\vec 0\quad\implies\quad\vec x=A^{-1}\cdot\vec 0=\vec 0$$Das Gleichungssystem \(A\cdot\vec x=\vec 0\) hat also nur dann eine nicht-triviale Lösung, wenn die Determinanten von \(A\) gleich \(0\) ist.

Gesucht sind daher diejenigen Werte für \(c\), die die Determinante zum Verschwinden bringen:$$D=\left|\begin{array}{cc|cc}2+c & 0 & 0 & 0\\0 & 2-c & 0 & 0\\\hline1 & -2 & -c & -1\\2 & -4 & 1 & -c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}2+c & 0\\0 & 2-c\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{cc}-c & -1\\1 & -c\end{array}\right|$$$$\phantom D=(2+c)(2-c)(c^2+1)\stackrel!=0\quad\implies\quad c=\pm2$$

Für die Werte \(c=\pm2\) hat das Gleichungssystem \(A\cdot\vec x=\vec 0\) eine nicht-triviale Lösung und natürlich auch die triviale Lösung \(\vec x=\vec 0\).