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Aufgabe 3 (8 Punkte). Es sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\( f(x):=\left\{\begin{array}{ll} 2-4 x & \text { falls } x \leq 1, \\ x^{2}-3 & \text { falls } 1<x \leq 3, \\ \frac{\sqrt{x-3}}{x} & \text { falls } x>3 \end{array}\right. \)
für \( x \in \mathbb{R} \). Untersuchen Sie, für welche \( x \in \mathbb{R} \) die Funktion \( f \) stetig ist. Unterscheiden Sie dabei die Fälle \( x=1 \) und \( x=3 \) sowie \( x \notin\{1,3\} \).
Aufgabe 4 (8 Punkte). (i) Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen für eine Funktion \( f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \).
(a) \( f \) stetig in \( 0 \Rightarrow|f| \) stetig in 0 .
(3P.)
(b) \( |f| \) stetig in \( 0 \Rightarrow f \) stetig in 0 .
(3P.)
(ii) Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass aus \( |f(x)-f(y)| \leq 17 \cdot|x-y|^{\frac{1}{2}} \) für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) folgt, dass \( f \) stetig ist.
(2P.)
