Zeigen Sie, dass aus |f(x)−f(y)| ≤ 10·|x−y| für alle x,y ∈ R folgt, dass f stetig ist.

Question

Guten Nachmittag,

ich sitze hier mit ein paar Kollegen ein einer Aufgabe und wir haben leider noch keinen Ansatz

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Sei f : R → R. Zeigen Sie, dass aus |f(x)−f(y)| ≤ 10·|x−y| für alle x,y ∈ R folgt, dass f stetig ist.

Kann jemand weiterhelfen?

LG

Answer 1

Sei \( \epsilon>0 \) beliebig. Nun gilt für alle \( x \in \mathbb{R} \)
\(\begin{aligned} \forall y:|x-y|<\frac{\epsilon}{10} \Longrightarrow|f(x)-f(y)| \leqslant 10 \cdot|x-y|<10 \cdot \frac{\epsilon}{10}=\epsilon\end{aligned} \)
Das bedeutet nun per Definition, dass \( f \) in jedem \( x \) stetig ist.