Beweisen von Aussagen über Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen für eine Funktion f : [−1, 1] → R.

(a) f stetig in 0 ⇒ |f| stetig in 0.

(b) |f| stetig in 0 ⇒ f stetig in 0.

Problem/Ansatz:

ich sitze hier mit ein paar Kollegen an einer Aufgabe und wir kommen nicht weiter. Sie lautet wie folgt:

Wir haben uns überlegt die Cosinus dafür zu verwenden, aber wir haben keine Ahnung wie wir das beweisen sollen. Kann jemand weiterhelfen?

LG

Comments

Beweisen von stetigen Funktionen

Du möchtest wahrscheinlich nicht Funktionen beweisen, sondern die beiden Aussagen.

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Sorry, hab mich beim Titel vertan

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Bei b) Wähle z.B. \(\displaystyle f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rl}1,&\text{falls }x>0\\-1,&\text{sonst}\end{array}\right.\).

Answer 1

Hallo

zu a) macht eine Fallunterscheidung: 1, f(0)>0  d.h, f>0 in einer Umgebung von 0 also f(x)=|f(x)| in einer Umgebung von 0 also stetig.2. ebenso f(0)<0 -f(x) stetig, wenn f(x) stetig deshalb auch |f(x)|=-f(x) stetig

3. f(0)=0  dann die Steigkeitsdefinition für |f|  und f verwenden.

für b) habt ihr ja ein Gegenbeispiel bekommen,

Gruß lul

Answer 2

Zu (a): \(abs:\; x\mapsto |x|\) ist eine stetige Funktion.

Daher ist \(x\mapsto (abs\circ f)(x)\) stetig als Hintereinanderausführung

stetiger Funktionen.