Hallo,
bei dieser Notation (Robotik) gibt es eine ganz einfache Regel. Man darf zwei Transformation bzw. eine Transformation und eine Position nur genau dann multiplizieren (verknüpfen), wenn $$b=c \implies {}^aT_{\color{red}b} \cdot {}^{\color{red}c}T_d ={}^aT_d$$d.h. die Indizes müssen identisch sein bzw. das identische Bezugssystem bezeichnen.
Und außerdem gilt$$\left({}^aT_b\right)^{-1} = {}^bT_a$$
Du hast hier vier Systeme:
B: Basis (=Roboter)
EE: Endeffektor
D: Schreibtisch (Desk)
C: Tasse (Cup)
Merke: Eine Transformation beschreibt kein Koodinatensystem, sondern immer nur eine Transformation zwischen zwei Koodinatensystemen. Gegeben sind:
\({}^BT_{EE}:\quad B \to EE\) von Basis zum Endeffektor
\({}^BT_D:\quad B \to D\) von Basis zum Tisch
\({}^DP_C = D_c: \quad D \to C\) vom Tisch zur Tasse (nur Position)
... und berechnet dann die Position der Tasse relativ zu dem Endeffektor
'relativ zu dem Endeffektor' bedeutet vom Endeffektor zur Tasse und der Weg ist$$\phantom{=}EE \underbrace{\to}_{={}^{EE}T_B} B \underbrace{\to}_{={}^B T_D} D \underbrace{\to}_{={}^D P_C} C\\={}^{EE}T_B\cdot {}^B T_D \cdot {}^D P_C\\=\left({}^B T_{EE}\right)^{-1}\cdot {}^B T_D \cdot {}^D P_C$$
Stellt dafür zunächst die Formel ...
Ok - Ihr sollt zunächst \({}^B T_D \cdot {}^D P_C\) berechnen. Das hast Du ja gemacht.
Zur Kontrolle das Endergebnis:$${}^{EE}P_C = \left({}^B T_{EE}\right)^{-1} \cdot {}^Bc\\\phantom{{}^{EE}P_C }=\begin{pmatrix}0& 0& 1& 2\\ 0& 1& 0& 3\\ -1& 0& 0& -4\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\ -1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -7\\ 1\end{pmatrix}$$
Hab ich da noch irgendwelche Fehler drin, im Kontext der Aufgabenstellung?
Du darfst \(({ }^{B}{T_{EE} })^{-1}\) nur mit einer Transformation oder Position verknüpfen, die auf \(B\) (die Basis) bezogen ist. Korrekt ist$${ }^{EE}c=({ }^{B}{T_{EE} })^{-1}\cdot {}^{\color{red}B}c$$
Gruß Werner
