Vektorkoordinaten eines lokalen Koordinatensystems aus Sicht eines anderen lokalen Systems

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Transformationsmatrix ^BT_EE, die die Position des Endeffektors EE (end effector) im
Bezug auf das Anfangskoordinatensystem B (base) beschreibt. Die Position eines Schreibtisches ist durch
ein Koordinatensystem D (desk) gegeben. Die Position des Tisches relativ zu dem Roboter ist durch ^BT_D
gegeben. Auf dem Tisch steht eine Tasse c (cup), deren Position relativ zu D durch ^Dc gegeben ist. Stellt
dafür zunächst die Formel auf und berechnet dann die Position der Tasse relativ zu dem Endeffektor ^EEc.
Nehmt dafür folgende Werte für ^BT_EE,
^BT_D und ^Dc:

${ }^{B} T_{E E}=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \quad{ }^{B} T_{D}=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \quad{ }^{D} c=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 4 \\ 1\end{array}\right)$

Problem/Ansatz:

Bin etwas rusty wenn's um Matrizen und co geht und bin mir daher absolut nicht sicher, welche Matrix was macht. Hab ein bisschen gegoogelt und wenn ich alles richtig verstehe, dann müsste folgendes gelten, wobei der Vektor ^Dc zu

${}^Dc=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 4 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ erweitert wird:

${ }^{B}c={ }^{B}{T_{D} }* {}^Dc$

${ }^{EE}c=({ }^{B}{T_{EE} })^{-1}* {}^Dc$

Uns wurde dazu nicht wirklich was erklärt, die Aufgabe wird jedoch bewertet. Hab ich da noch irgendwelche Fehler drin, im Kontext der Aufgabenstellung?

Danke im Voraus

Answer 1

Hallo,

bei dieser Notation (Robotik) gibt es eine ganz einfache Regel. Man darf zwei Transformation bzw. eine Transformation und eine Position nur genau dann multiplizieren (verknüpfen), wenn $$b=c \implies {}^aT_{\color{red}b} \cdot {}^{\color{red}c}T_d ={}^aT_d$$d.h. die Indizes müssen identisch sein bzw. das identische Bezugssystem bezeichnen.

Und außerdem gilt$$\left({}^aT_b\right)^{-1} = {}^bT_a$$

Du hast hier vier Systeme:

B: Basis (=Roboter)

EE: Endeffektor

D: Schreibtisch (Desk)

C: Tasse (Cup)

Merke: Eine Transformation beschreibt kein Koodinatensystem, sondern immer nur eine Transformation zwischen zwei Koodinatensystemen. Gegeben sind:

${}^BT_{EE}:\quad B \to EE$ von Basis zum Endeffektor

${}^BT_D:\quad B \to D$ von Basis zum Tisch

${}^DP_C = D_c: \quad D \to C$ vom Tisch zur Tasse (nur Position)

... und berechnet dann die Position der Tasse relativ zu dem Endeffektor

'relativ zu dem Endeffektor' bedeutet vom Endeffektor zur Tasse und der Weg ist$$\phantom{=}EE \underbrace{\to}_{={}^{EE}T_B} B \underbrace{\to}_{={}^B T_D} D \underbrace{\to}_{={}^D P_C} C\\={}^{EE}T_B\cdot {}^B T_D \cdot {}^D P_C\\=\left({}^B T_{EE}\right)^{-1}\cdot {}^B T_D \cdot {}^D P_C$$

Stellt dafür zunächst die Formel ...

Ok - Ihr sollt zunächst ${}^B T_D \cdot {}^D P_C$ berechnen. Das hast Du ja gemacht.

Zur Kontrolle das Endergebnis:$${}^{EE}P_C = \left({}^B T_{EE}\right)^{-1} \cdot {}^Bc\\\phantom{{}^{EE}P_C }=\begin{pmatrix}0& 0& 1& 2\\ 0& 1& 0& 3\\ -1& 0& 0& -4\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\ -1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -7\\ 1\end{pmatrix}$$

Hab ich da noch irgendwelche Fehler drin, im Kontext der Aufgabenstellung?

Du darfst $({ }^{B}{T_{EE} })^{-1}$ nur mit einer Transformation oder Position verknüpfen, die auf $B$ (die Basis) bezogen ist. Korrekt ist$${ }^{EE}c=({ }^{B}{T_{EE} })^{-1}\cdot {}^{\color{red}B}c$$

Gruß Werner

Comments

Echt starke Leistung, Werner, so viel hab ich echt nicht erwartet! Riesen Dank!

Zu deinem Kommentar unter der anderen Antwort:
Stimme zu, dass die Zahlenwerte seltsam erscheinen; wirkt so, als stünde die Welt auf dem Kopf. Ich habe nochmal eine der Tutorin gefragt, sie meinte, dass dies kein Problem sei, es ginge eher ums Verständnis als um eine sinnvolle Abbildung der Realität.

Beim Berechnen vom Endergebnis komme ich auf den selben Vektor.

Das mit ^Dc am Ende war tatsächlich nur ein TIppfehler aber trotzdem gut, dass du es erwähnt hast!

Danke nochmal!

Answer 2

hm,

gerechnet in homogenen Koordinaten. beispiele dazu

https://www.geogebra.org/m/NXx4E8cb#material/j3fqtfcn

da einfach die inverse loszulassen scheint mir zweifelhaft zu sein. ist das der original aufgaben text?

ich würde mir da erstmal eine 3D scene anschauen wollen, die matrizen drehen und verschieben.

ggf. hilft dir der link das nachzubauen? ist aber aufwändig…

bei interesse würde ich das thema auch bearbeiten?

Comments

Genau, das ist der komplette Aufgabentext. Es gab noch folgende Skizze dazu:

Hab es auch zuerst über Visualisierung versucht aber GeoGebra performt bei mir miserabel, sowohl als Software als auch die Website. Hängt sich ständig auf. Ich muss jedes Mal von neu anfangen, wenn ich ein anderes Fenster fokussiere um was nachzuschauen. Gibt's andere Tools, mit denen man das machen könnte?

Warum genau ist das Verwenden der Inverse in dem Fall fragwürdig? ^BT_EE würde mir ja Koordinaten des EE Systems ins B System übersetzen, die Inverse demzufolge genau anders rum, oder verstehe ich etwas falsch?

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Warum genau ist das Verwenden der Inverse in dem Fall fragwürdig?

ist sie nicht! (siehe meine Antwort)

Gibt's andere Tools, mit denen man das machen könnte?

Eine Kombination von Excel und Geoknecht3D (wenn man Übung darin hat!). Aber die Zahlenwerte sehen irgendwie nicht sinnvoll aus. Es würde schon helfen, wenn man wüsste wo 'oben' ist!

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 >Warum genau ist das Verwenden der Inverse in dem Fall fragwürdig?<

Weil ich ohne das Bild den Roboter anders verortet habe...