Funktionsgleichung nach x umstellen

Question

Aufgabe:

Es geht um das Abitur 2021 in Niedersachsen.

$$f(x)=5*(e^{-0.3x}-e^{-4x})$$

Gesucht ist f(x)=f(x+2)

Ich möchte das ohne GTR lösen

Aber ich hänge bei der Umstellung wenn ich den ln ziehen muss. Kann mir das jemand schrittweise aufschreiben?

Das wäre super lieb

Problem/Ansatz:

$$f(x)=5*(e^{-0.3x}-e^{-4x}) =5*(e^{-0.3(x+2)}-e^{-4(x+2)})$$

$$f(x)=5*(e^{-0.3x}-e^{-4x}) =5*(e^{-0.3x+0.6}-e^{-4x-8})$$ dann geteilt durch 5

$$f(x)=e^{-0.3x}-e^{-4x} =e^{-0.3x+0.6}-e^{-4x-8}$$ und jetzt muss ich doch den ln anwenden oder? Hier komme ich nicht weiter

Answer 1

\(5*(e^{-0.3x}-e^{-4x}) =5*(e^{-0.3(x+2)}-e^{-4(x+2)})\)

\(5*(e^{-0.3x}-e^{-4x}) =5*(e^{-0.3x-0.6}-e^{-4x-8})\)

\(e^{-0.3x}-e^{-4x} =e^{-0.3x-0.6}-e^{-4x-8}\)

\(e^{-4x-8}+e^{-4x} =e^{-0.3x-0.6}+e^{-0.3x}\)

\(e^{-4x}\cdot (e^{-8}+1) =e^{-0,3x}\cdot (e^{-0.6}+1)\)

\(\frac{e^{-4x}}{e^{-0,3x}}=\frac{e^{-0.6}+1}{e^{-8}+1} \)

\(e^{-3.7x}=\frac{e^{-0.6}+1}{e^{-8}+1} \)

\(-3.7x=ln(\frac{e^{-0.6}+1}{e^{-8}+1} )\)

\(x=ln(\frac{e^{-0.6}+1}{e^{-8}+1} ):(-3,7) = 0,215\)

Comments

Danke mathef !! Herzliche Grüße

Answer 2

Es soll die Gleichung \(f(x)=f(x+2)\) gelöst werden. Dazu muss zunächst nicht nach \(x\) umgestellt werden.