Punkte, die die Strecken im Verhältnis a:b teilen. Diese Punkte bilden Quadrat. Größe des Flächeninhalts des Quadrats

Question

Aufgabe:

Eine Pyramide hat die Eckpunkte A(2|0|1), B(4|2|1), C(2|4|1) und die Spitze S(2|2|6).

Dabei gibt es auf jeder Seitenkante dieser Pyramide einen Punkt, der die Strecke von der Spitze zum jeweiligen Eckpunkt im Verhältnis a:b teilt. Diese Punkte bilden ein Quadrat. Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Quadrates?

Problem/Ansatz:

Ich habe jeweils einen beliebigen Punkt auf der Strecke SA und auf der Strecke SB aufgestellt. Dann habe ich den Abstand dieser Punkte quadriert, da das ja der Flächeninhalt wäre. Allerdings habe ich hierbei ja gar nicht das Verhältnis a:b miteinbezogen. Ich verstehe das nicht so ganz, wie ich das mit dem Verhältnis berechenen kann.

Answer 1

Dabei gibt es auf jeder Seitenkante dieser Pyramide einen Punkt, der die Strecke von der Spitze zum jeweiligen Eckpunkt im Verhältnis a:b teilt.

Für den Punkt \(A'\) auf der Seitenkante \(SA\) gilt

        \(\vec{OA'} = \vec{OS} + \frac{a}{a+b}\vec{SA}\).

Comments

Können sie mir bitte erklären, wie sie auf a/a+b kommen?

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"Der Punkt M teilt die Strecke von P nach Q im Verhältnis a:b"  bedeutet, dass

        \(\frac{|PM|}{|MQ|} = \frac{a}{b}\)

ist. Addition von \(1\) auf beiden Seiten der Gleichung liefert

    \(\frac{|PM|}{|MQ|}+\frac{|MQ|}{|MQ|} = \frac{a}{b}+\frac{b}{b}\)

was mittels Bruchrechenregeln vereinfacht werden kann zu

    \(\frac{|PM|+|MQ|}{|MQ|} = \frac{a+b}{b}\)

und weiter zu

    \(\frac{|PQ|}{|MQ|} = \frac{a+b}{b}\).

Bildet man nun auf beiden Seiten den Kehrwert, so erhält man

    \(\frac{|MQ|}{|PQ|} = \frac{b}{a+b}\).

Multipliziert man mit \(|PQ|\), dann erhält man

    \(|MQ| = \frac{b}{a+b}|PQ|\).

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Macht es einen Unterschied, dass da jetzt b/a+b ist?

Answer 2

Die Rechnung $$\overrightarrow{OA}+\dfrac{a}{a+b}\cdot\overrightarrow{AS}$$liefert den Ortsvektor des Teilungspunktes der Strecke von \(A\) bis \(S\).

Es stellt sich allerdings die Frage, ob das nicht auch anders geht...

Comments

Entschuldige bitte, ich sehe gerade, dass vdie Teilung von der Spitze aus vorgenommen werden soll. Dann muss es so heißen:

Die Rechnung $$\overrightarrow{OS}+\dfrac{a}{a+b}\cdot\overrightarrow{SA}$$liefert den Ortsvektor des Teilungspunktes der Strecke von \(S\) bis \(A\).

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Können sie mir bitte erklären, wie sie auf a/a+b kommen?

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Können sie mir bitte erklären, wie sie auf a/a+b kommen?

Ich habe das als Grundwissen irgendwo im Gedächtnis gehabt, also nicht mehr hergeleitet. Vielleicht hilft dies: $$1=\dfrac{a+b}{a+b}=\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}$$

Answer 3

Hallo

zeichne nur ein Seitendreieck, benutze den Strahlensatz, wenn etwa a:b=1:1 ist  ist die Quadratseite halb so lang, das Quadrat also 1/4 so groß

(eine Seite a:b einteilen kann 2 Sachen bedeuten a das kleine Stück von S aus , b die ganze Seite , oder a das obere Teilstück b das untere. (so hab ich 1:1 benutzt.) Was ist bei euch gemeint, den Strahlensatz kann man aber immer anwenden

Gruß lul

Comments

(eine Seite a:b einteilen kann 2 Sachen bedeuten a das kleine Stück von S aus , b die ganze Seite , oder a das obere Teilstück b das untere.

Eine Strecke im Verhältnis a:b zu teilen, bedeutet meiner Meinung nach immer, dass das erste Stück die a/(a+b)-fache Länge und das zweite Stück die b/(a+b)-fache Länge der Gesamtlänge besitzt. Ich habe das noch nie anders gesehen.