Erwartungswert | Varianz berechnen

Question

Sei \( \Omega=\{1, \ldots, n\} \) eine Menge mit der Gleichverteilung \( P_{\Omega} \) als Wahrscheinlichkeitsmaß, also \( P_{\Omega}(\{i\})=\frac{1}{n} \). Sei \( X: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) die Zufallsvariable \( k \mapsto k \).

1.Berechnen Sie den Erwartungswert \( \mathbb{E} X \).
2.Berechnen Sie \( (\mathbb{E} X)^{2} \).
3.Benutzen Sie die Gleichung (die für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt)
\( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \)
um \( \mathbb{E}\left(X^{2}\right) \) zu berechnen.
4.Berechnen Sie die Varianz \( \mathbb{V} X \).

Sehr allgemein gestellte Frage, soll ich einfach die Summe angeben? bzw. den allgemeinen Erwartungswert.

Answer 1

Du kannst die Summe angeben und diese dann natürlich vereinfachen, also z.B.

E(X) = ∑ (x = 1 bis n) (x·(1/n)) = 1/n·∑ (x = 1 bis n) (x) = 1/n·(n·(n + 1)/2) = (n + 1)/2

Comments

Ja das hatte ich schon vermutet, und wollte dies nur nochmal verifizieren, Danke!