Erwartungswert | Varianz berechnen

Question

Sei $\Omega=\{1, \ldots, n\}$ eine Menge mit der Gleichverteilung $P_{\Omega}$ als Wahrscheinlichkeitsmaß, also $P_{\Omega}(\{i\})=\frac{1}{n}$. Sei $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ die Zufallsvariable $k \mapsto k$.

1.Berechnen Sie den Erwartungswert $\mathbb{E} X$.
2.Berechnen Sie $(\mathbb{E} X)^{2}$.
3.Benutzen Sie die Gleichung (die für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt)
$\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)$
um $\mathbb{E}\left(X^{2}\right)$ zu berechnen.
4.Berechnen Sie die Varianz $\mathbb{V} X$.

Sehr allgemein gestellte Frage, soll ich einfach die Summe angeben? bzw. den allgemeinen Erwartungswert.

Answer 1

Du kannst die Summe angeben und diese dann natürlich vereinfachen, also z.B.

E(X) = ∑ (x = 1 bis n) (x·(1/n)) = 1/n·∑ (x = 1 bis n) (x) = 1/n·(n·(n + 1)/2) = (n + 1)/2

Comments

Ja das hatte ich schon vermutet, und wollte dies nur nochmal verifizieren, Danke!