Wie sind der Radius und die Höhe des Zylinders zu wählen?

Question

Aufgabe:

Eine Holzkugel soll so bearbeitet werden,dass ein Zylinder mit möglichst großem Volumen entsteht.
Wie sind der Radius und die Höhe des Zylinders zu wählen?

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Extremwertaufgabe? Es sind keine Werte gegeben...

Answer 1

Eine Holzkugel soll so bearbeitet werden, dass ein Zylinder mit möglichst großem Volumen entsteht. Wie sind der Radius und die Höhe des Zylinders zu wählen?

Nimm einfach den Querschnitt der Einheitskugel. Das wäre dann der Einheitskreis. Im folgenden nur die obere Hälfte.

y = √(1 - x^2) 

Wenn x = r der Radius des Zylynders ist dann ist y = h/2, also die halbe Zylinderhöhe. Damit gilt für das Zylindervolumen.

V = pi·r^2·2·√(1 - r^2)

V' = 2·pi·r·(2 - 3·r^2)/√(1 - r^2) = 0

Damit gilt

2 - 3·r^2 = 0 --> r = √6/3

h = 2·√(1 - (√6/3)^2) = 2/3·√3

Hat man jetzt eine Kugel mit dem Radius R kann man Höhe und Radius einfach mit R multiplizieren.