Aufgabe:
Sei die Matrixnorm ∥ · ∥ durch eine Vektornorm induziert und A ∈ Rn,n so dass
∥ A − I ∥ ≤ δ < 1.
Zeigen Sie, dass A invertierbar ist und geben Sie eine Schranke für ∥A-1∥ an.
Ich weiß nicht, wie ich hier die invertierbarkeit zeigen soll, könnte jemand helfen?
LG Blackwolf :)
Für alle x∈Rnx \in \R^nx∈Rn gilt
∥x∥=∥(I−A)x+Ax∥≤∥(I−A)x∥+∥Ax∥≤δ∥x∥+∥Ax∥⇒∥x∥≤∥Ax∥1−δ\|x\|=\|(I-A)x+Ax\| \leq \|(I-A)x\|+\|Ax\| \leq \delta \|x\|+\|Ax\|\\\qquad \Rightarrow \|x\| \leq \frac{\|Ax\|}{1-\delta}∥x∥=∥(I−A)x+Ax∥≤∥(I−A)x∥+∥Ax∥≤δ∥x∥+∥Ax∥⇒∥x∥≤1−δ∥Ax∥
Wenn also Ax=0 ist folgt x=0. D.h A ist invertierbar. Mit y=Ax liefert die obige Ungleichung
∥A−1y∥≤∥y∥1−δ, also ∥A−1∥≤11−δ\|A^{-1}y\| \leq \frac{\|y\|}{1-\delta}, \text{ also }\|A^{-1}\| \leq \frac{1}{1-\delta}∥A−1y∥≤1−δ∥y∥, also ∥A−1∥≤1−δ1
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