Zeigen Sie, dass A invertierbar ist und geben Sie eine Schranke für ∥A-1∥ an.

Question

Aufgabe:

Sei die Matrixnorm ∥ · ∥ durch eine Vektornorm induziert und A ∈ R^n,n so dass

∥ A − I ∥ ≤ δ < 1.

Zeigen Sie, dass A invertierbar ist und geben Sie eine Schranke für ∥A^-1∥ an.

Ich weiß nicht, wie ich hier die invertierbarkeit zeigen soll, könnte jemand helfen?

LG Blackwolf :)

Answer 1

Für alle \(x \in \R^n\) gilt

$$\|x\|=\|(I-A)x+Ax\| \leq \|(I-A)x\|+\|Ax\| \leq \delta \|x\|+\|Ax\|\\\qquad \Rightarrow \|x\| \leq \frac{\|Ax\|}{1-\delta}$$

Wenn also Ax=0 ist folgt x=0. D.h A ist invertierbar. Mit y=Ax liefert die obige Ungleichung

$$\|A^{-1}y\| \leq \frac{\|y\|}{1-\delta}, \text{  also }\|A^{-1}\| \leq \frac{1}{1-\delta}$$