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Aufgabe:

Sei die Matrixnorm ∥ · ∥ durch eine Vektornorm induziert und A ∈ Rn,n so dass

∥ A − I ∥ ≤ δ < 1.

Zeigen Sie, dass A invertierbar ist und geben Sie eine Schranke für ∥A-1∥ an.


Ich weiß nicht, wie ich hier die invertierbarkeit zeigen soll, könnte jemand helfen?

LG Blackwolf :)

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Für alle xRnx \in \R^n gilt

x=(IA)x+Ax(IA)x+Axδx+AxxAx1δ\|x\|=\|(I-A)x+Ax\| \leq \|(I-A)x\|+\|Ax\| \leq \delta \|x\|+\|Ax\|\\\qquad \Rightarrow \|x\| \leq \frac{\|Ax\|}{1-\delta}

Wenn also Ax=0 ist folgt x=0. D.h A ist invertierbar. Mit y=Ax liefert die obige Ungleichung

A1yy1δ, also A111δ\|A^{-1}y\| \leq \frac{\|y\|}{1-\delta}, \text{ also }\|A^{-1}\| \leq \frac{1}{1-\delta}

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