Teilmengen zeigen. a1= wurzel(2), an+1:=wurzel(2+an). Suche obere Schranke

Question

Sei

$$a_{1}:=\sqrt{2}$$

$$a_{2}:=\sqrt{2+\sqrt{2}}$$

$$a_{n+1}:=\sqrt{2+a_{n}}$$

sei A:= {a_1,a_2,....a_n,..}. Zeige A⊆[0,2] Anleitung: a_n < 2 ⇒ a_n+2 <2

[Anm: a₂ kann man so { a }_{ 2 }\quad :=\quad \sqrt { 2+\sqrt { 2 }  } \\   im Formeleditor eingeben]

Answer 1

Man könnte meinen es gibt ein an, welches sich nicht mehr verändert wenn man an+1 ausrechnet. Dann dürfte ich schreiben:

a_n = √(2 + a_n)

Löse ich das nach an auf erhalte ich

a_n² = 2 + a_n
a_n² - a_n - 2 = 0
a_n = 2 oder a_n = -1

Damit müssten -1 oder 2 potentielle Grenzwerte sein.

an+1 = √(2 + a_n)

Wenn an 2 wäre steht rechts die Wurzel aus 4 und ist damit 2. Wenn an kleiner als 2 ist steht dort etwas kleineres als 4 und die Wurzel davon ist kleiner als 2.

Damit kann der Term nicht über 2 anwachsen. 2 ist eine obere Schranke die nicht erreicht wird.

Answer 2

Hier ist zu zeigen, dass alle Folgenglieder im Bereich 0≤ a_n ≤2 liegen.

Da allen durch Wurzelziehen und addieren nie eine negative Zahl erreicht werden kann, sind alle Folgenglieder grösser als 0. Deshalb ist 0 als untere Schranke ok.

Zur 2 als oberer Schranke wird eine Induktion in 2er Schritten vorgeschlagen.

Verankerung mit a1 und a2

a1 = 1.414 < 2

a2 = 1.84777

Induktionsschritt n → n+2