Zeigen Sie, ist s² <2, dann ist s keine obere Schranke von A.

Question

Aufgabe:

Sei A = {x ∈ Q | x² ≤ 2}. Zeigen Sie, ist s²<2, dann ist s keine obere Schranke von A.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ein s+ε ∈ A mit ε>0 existieren muss. Mein Ansatz wäre jetzt (s+ε)² < 2 <=> s²+2εs+ε²

Aufgelöst bis ε < (2-s²)/(2s+ε).

Nun weiß ich nicht weiter.

Kann mir jemand weiter helfen?

Answer 1

Hallo

du musst doch für jedes ε>0 zeigen x^2=(s-ε)^2<2  wenn s eine obere Schranke wäre. bringe das zum Widerspruch

wenn s obere S wäre dann natürlich auch s+ε also kannst du damit nichts zeigen

Gruß lul

Answer 2

Es sei \(s>0\) mit \(s^2<2\). Dann gilt \(0<s<\sqrt{2}\).

Da \(\mathbb{Q}\) dicht in \(\mathbb{R}\) liegt, gibt es

\(x\in (s,\sqrt{2}) \cap \mathbb{Q}\). Für ein solches \(x\) gilt

\(x>s\) und \(x\in A\), also ist \(s\) keine obere Schranke von \(A\).

Dieser Beweis setzt voraus, dass die reellen Zahlen bereits

als existent bewiesen sind, samt der Existenz der Quadratwurzeln

aus positiven nat. Zahlen.