Bestimme und begründe anhand des Graphen, in welchem Zeitraum der Bestand zunimmt bzw abnimmt.

Question

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Aufgabe: \( \quad \) Pflanzenbestand
Die momentane Zuwachsrate eines Pflanzenbestandes wird durch folgende Funktion in einem Zeitraum von 20 Jahren modelliert. ( \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) : Stückzahl in 1000/Jahr , x: Zeit in Jahren) \( f(x)=0,01 x^{3}-0,32 x^{2}+2,4 x \)
a) Bestimme und begründe anhand des Graphen, in welchem Zeitraum der Bestand zunimmt bzw. abnimmt.
Kann man mit Hilfe des Graphen eine Aussage über die tatsächliche Stückzahl machen?
b) Wann ist der Bestand maximal? Begründe Deine Antwort.
c) Bestimme, um wie viele Pflanzen der Bestand nach insgesamt 10 Jahren angewachsen ist?
d) Bestimme, um wie viel Pflanzen sich der Bestand vom 12. bis zum 20. Jahr verändert hat.
e) Bestimme, um wie viele Pflanzen sich der Bestand nach insgesamt 20 Jahren vergrößert hat.
f) Gib eine Funktion an, mit der man berechnen kann, um wie viel Pflanzen sich der Bestand nach insgesamt \( x \) Jahren verändert hat.
g) Zur Zeit \( x=0 \) sind 100 Pflanzen vorhanden. Gib eine Funktion an, mit der man die Anzahl der Pflanzen nach x Jahren bestimmen kann. HP=max. Bestand

Answer 1

b) Der Bestand ist die Fläche unter f(x) = F(x)+C , das Integral.

Gesucht ist das Maximum von F(x), d.h. F'(x) = 0

F'(x) = f(x)

Berechne f(x) =0

c) Berechne F(x) in den Grenzen von 0 bis 10.

d) Berechne F(x) von 12 bis 20 und subtrahiere den Betrag des Ergebnisses vom vorherigen Bestand.

e) Verwende c) und d)

f) Von Nullstelle zu Nullstelle f(x) integrieren und die Teilergebnisse addieren

g) 100+ F(x) von 0 bis x