Aloha :)
Die Sinkgeschwindigkeit des Steins ist bekannt:$$v(t)=2,5\cdot\left(1-e^{-0,1t}\right)=\frac52\cdot\left(1-\frac{1}{e^{t/10}}\right)\quad;\quad[v]=\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$$
a) Nach welcher Zeit sinkt der Stein mit Geschwindigkeit 2 m/s?
$$\frac52\cdot\left(1-\frac{1}{e^{t/10}}\right)=2\quad\bigg|\cdot\frac25$$$$1-\frac{1}{e^{t/10}}=\frac45\quad\bigg|-1$$$$-\frac{1}{e^{t/10}}=-\frac15\quad\bigg|\text{Kehrwerte und negieren}$$$$e^{t/10}=5\quad\big|\ln(\cdots)$$$$\frac{t}{10}=\ln(5)\quad\big|\cdot10$$$$t=10\ln(5)\approx16,09$$Nach ca. \(16,09\,\mathrm s\) hat der Stein die Geschwindigkeit \(v=2\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\) erreicht.
b) Zeigen sie, dass die Geschwindigkeit des Steins zuständig zunimmt.
$$t_2>t_1\implies\frac{t_2}{10}>\frac{t_1}{10}\implies e^{\frac{t_2}{10}}>e^{\frac{t_1}{10}}\implies \frac{1}{e^{\frac{t_2}{10}}}<\frac{1}{e^{\frac{t_1}{10}}}\implies-\frac{1}{e^{\frac{t_2}{10}}}>-\frac{1}{e^{\frac{t_1}{10}}}$$$$\phantom{t_2>t_1}\implies1-\frac{1}{e^{\frac{t_2}{10}}}>1-\frac{1}{e^{\frac{t_1}{10}}}\implies\frac52\left(1-\frac{1}{e^{\frac{t_2}{10}}}\right)>\frac52\left(1-\frac{1}{e^{\frac{t_1}{10}}}\right)$$$$\phantom{t_2>t_1}\implies v(t_2)>v(t_1)$$
c) Interpretieren Sie im sachzusammenhang die gleichung v(t+5) - v (t)=5
In dem \(5\,\mathrm s\)-Intervall von \(t\) bis \((t+5)\) wächst die Geschwndigkeit um \(5,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\).
d) Stellen Sie eine Gleichung zur Lösung folgender Frage auf: Wann nimmt die Geschwindigkeit in der nächsten Sekunde um 0,13 m/s zu?
$$v(t_0+1)-v(t_0)=0,13$$
E) wann beträgt die Beschleunigung des Steins 2,6 cm/s²?
Beachte die EInheit der Beschleunigung, die müssen wir umrechnen in \(\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\)!
$$v'(t)=0,026\quad\big|\text{Ableitung bilden}$$$$-2,5\cdot(-0,1)e^{-0,1t}=0,026\quad\big|\div0,25$$$$e^{-0,1t}=0,104\quad\big|\ln(\cdots)$$$$-0,1t=\ln(0,104)\quad\big|\div(-0,1)$$$$t=-\frac{\ln(0,104)}{0,1}\approx22,63$$Nach etwa \(22,63\,\mathrm s\) ist die Beschleunigung \(2,6\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm s^2}\) erreicht.
