Sinkgeschwindigkeit eines Steins im See: v (t) = 2.5 • (1-e^{-0.1•t}) (t: Zeit in Sekunden, v (t) in m/s).

Question

Ein Stein sinkt in einen See. Für seine Sinkgeschwindigkeit gilt: v (t) = 2.5 • (1-e^-0.1•t) (t: Zeit in Sekunden seit Beobachtungsbeginn, v (t) in m/s).
a) Welche Sinkgeschwindigkeit hat der Stein zu Beginn? Welche hat er nach zehn Sekunden?
b) Skizzieren Sie den Graphen von v.
c) Nach welcher Zeit sinkt der Stein mit der Geschwindigkeit 2 m/s?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Sinkgeschwindigkeit eines Steins angeben

Stichworte: funktion,ableitungen,sinken

Ein Stein sinkt in einen See. Für seine Sinkgeschwindigkeit gilt v (t)= 2, 5 * (1-e^-0, 1t) (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, v (t) in m/s )

a) Welche Sinkgeschwindigkeit hat der Stein zu Beginn? Welche hat er nach zehn Sekunden?

b) Nach welcher Zeit sinkt der Stein mit der Geschwindigkwit 2m/s ?

Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? Vielen Dank schonmal im Voraus :-)

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Vom Duplikat:

Titel: Exponentialfunktionen Sinkgeschwindigkeit v(t) = 2,5*(1-e^{-0,1·t})

Stichworte: ableitungen,funktion,e-funktion,beschleunigung

Ein Stein sinkt in einen See. Für die Sinkgeschwindigkeit gilt:

v(t) = 2,5*(1-e^-0,1·t)

1. Zeige dass die Geschwindigkeit ständig zunimmt.

erste ableitung ausrechnen, wenn diese größer als null ist der graph streng monton richtig?

2. Um wie viel nimmt die Geschwindkeit des Steins zwischen t1=2s und t2=5s zu?

wie rechne ich dieses Intervall aus?

3. Welche Beschleunigung erfährt der Stein nach 2 Sekunden?

Erste Ableitung und 2 einsetzen, richtig?

4. Wann ist die Beschleunigung des Steins am größten?

HP berechnen, richtig?

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Vom Duplikat:

Titel: Exponentialgleichungen. Stein sinkt in einen See. Sinkgeschwindigkeit v(t) = 2.5(1 - e^{-0.1*t} )

Stichworte: exponentialgleichung,geschwindigkeit

Exponentialgleichungen und natürlicher Logarithmus:

Ein Stein sinkt in einen See. Für seine Sinkgeschwindigkeit gilt: v(t) = 2,5·(1 - e^{-0,1·t}) (t: Zeit in Sekunden seit Beobachtungsbeginn, v(t) in m/s).

a) Welche Sinkgeschwindigkeit hat der Stein zu Beginn? Welche hat er nach 10 Sekunden?

b) Skizzieren Sie den Graphen von v.

c) Nach welcher Zeit sinkt der Stein mit der Geschwindigkeit 2 m/s?

d) Welche Endgeschwindigkeit erreicht der sinkende Stein?

e) Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit des Steins ständig zunimmt.

f) Um wie viel nimmt die Geschwindigkeit des Steins zwischen t_{1} = 2 s und t_{2} = 5 s zu?

g) Wann ist die Beschleunigung des Steins am größten?

Mein Problem ist, dass ich einfach nicht weiß was zu tun ist. Ich möchte keine Lösungen vorgesagt bekommen, weil ich wirklich den Willen habe es selber zu versuchen und zu verstehen. Aber ich würde mir eine ausführliche Erklärung mit mathematischen Fachbegriffen oder Anweisungen wünschen.

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Vom Duplikat:

Titel: Exponentialfunktio: Ein Stein sinkt in einem See.

Stichworte: exponentialgleichung,geschwindigkeit

Für seine Sinkgeschwindigkeit gilt v(t) = 2,5 • (1- e ^-0,1t ) (t: Zeit in Sekunden seit Beobachtungsbeginn, v(t) in m/s).

Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Welche sind falsch? Begründen sie.

A) Die Sinkgeschwindigkeit ist immer positiv.

B) Die maximale Sinkgeschwindigkeit wird zu Beobachtungsbeginn erreicht.

C) Der Stein erreicht den Boden des Sees nie.

D) Man kann mithilfe eines Integrals berechnen, wie tief der Stein insgesamt gesunken ist.

E) Die Sinkgeschwindigkeit ist immer kleiner als 2,5 m/s,

F) Die Sinkgeschwindigkeit verdoppelt sich jeweils innerhalb von 0,9 Sekunden.

Kann mit bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Vielen, vielen Dank.

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Die Frage wurde schon 2 mal gestellt.

https://www.mathelounge.de/442593/exponentialgleichungen-stein-sinkt-sinkgeschwindigkeit
https://www.mathelounge.de/61304/sinkgeschwindigkeit-eines-steins-im-see-zeit-in-sekunden-in

Falls Fragen offen sind dann
wieder melden.

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Vom Duplikat:

Titel: ein schuh sinkt in einen see. für seine sinkgeschwindigkeit gilt: v(t) = 2,5*(1-e^(-0,1*t))

Stichworte: beschränkt,wachstum

Aufgabe

ein schuh sinkt in einen see. für seine sinkgeschwindigkeit gilt: v(t) = 2,5*(1-e^(-0,1*t)) t in sekunden seit beobachtungsgewinn, v(t) in m/s.

a) Die Sinkgeschwindigkeit ist immer positiv

b) Die maximale sinkgeschwindigkeit wird zu beobachtungsgewinn erreicht.

c) der schuh erreicht den boden nie

d) die sinkgeschwindigkeit ist immer kleiner als 2,5m/s

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Vom Duplikat:

Titel: ein schuh sinkt in einen see. sinkgeschwindigkeit gilt: v(t) = 2,5*(1-e^(-0,1*t))

Stichworte: beschränkt,wachstum

Aufgabe

ein schuh sinkt in einen see. für seine sinkgeschwindigkeit gilt: v(t) = 2,5*(1-e^(-0,1*t)) t in sekunden seit beobachtungsgewinn, v(t) in m/s.

Welche Aussage ist wahr oder falsch. begründe

a) Die Sinkgeschwindigkeit ist immer positiv

b) Die maximale sinkgeschwindigkeit wird zu beobachtungsgewinn erreicht.

c) der schuh erreicht den boden nie

d) die sinkgeschwindigkeit ist immer kleiner als 2,5m/s

e) die sinkgeschwindigkeit verdoppelt sich jeweils innerhalb von 0,9 s.
Problem/Ansatz:

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Vom Duplikat:

Titel: Sinkgeschwindigkeit eines Steins

Stichworte: exponentialgleichung

Aufgabe:

Ein Stein sinkt in einem See. Für seine Sinkgeschwindigkeit gilt v(t)=2,5*(1-e^-0,1t) (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, v(t) in m/s)

a) Bestimmen sie die Sinkgeschwindigkeit des Steins nach 10 Sekunden.

b) Nach welcher Zeit sinkt der Stein mit der Geschwindigkeit 2 m/s?

c) Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit des Steins ständig zunimmt.

d) Wann nimmt die Geschwindigkeit innerhalb einer Sekunde um 0,13 m/s zu?

e) Bestimmen Sie die Beschleunigung des Steins nach 2 Sekunden.

Bitte Lösung mit Lösungsweg aufschreiben. Vielen Dank.

Answer 1

Umformung des Funktionsterms: v(t)=2,5-\( \frac{2,5}{e^{0,1·t}} \)

a)2,5-\( \frac{2,5}{e^{0,1·t}} \) >0

2,5>\( \frac{2,5}{e^{0,1·t}} \)

1>\( \frac{1}{e^{0,1·t}} \) stimmt

b) v(0)=0 Das ist die minimale Snkgeschwindigkeit

c) Der Schuh erreicht den Boden in jedem Falle (bei jeder Tiefe)

d)2,5-\( \frac{2,5}{e^{0,1·t}} \) < 2,5

1-\( \frac{1}{e^{0,1·t}} \) < 1

Comments

Danke. Kannst du den sagen welche dieser Aussagen ( A bis e) falsch oder richtig ist.

a muss wahr sein, b ist falsch, c ist falsch und d ist wahr oder?

Answer 2

a) falsch. Für t = 0 ist die Geschwindigkeit 0 oder?

b) falsch. Für t = 0 ist die Geschwindigkeit 0 oder?

c) nach Funktion richtig, weil die Sinkgeschwindigkeit nur am Anfang 0 ist und sonst immer positiv. realistisch ist es jedoch nicht.

d) richtig. 2.5 m/s ist der Grenzwert an den sich der Funktionswert annähert ihn aber nie erreicht.

e) falsch. Wenn am Anfang die Sinkgeschwindigkeit 0 ist dann müsste man ja nach 0.9 s zweimal 0 also auch 0 haben. Damit müsste die Sinkgeschwindigkeit immer 0 bleiben.

Comments

müsste a)  aber nicht wahr sein? Kannst du mir jeweils die berechnungen für jede zeigen? Also für d) ?

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wie kann ich den d) nachweisen

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a)

Der Wert 0 ist nicht positiv. Man könnte daher nur sagen "die Sinkgeschwindigkeit ist nie negativ".

d)

2.5·(1 - e^(- 0.1·t)) < 2.5
1 - e^(- 0.1·t) < 1
-e^(- 0.1·t) < 0
e^(- 0.1·t) > 0

Wahr. Die e-Funktion ist für alle Exponenten positiv.

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Vielen Dank:)

Aber noch eine letzte Frage: Ich will das nämlich auch verstehen.

Bei c) ,wie kann ich das rechnerisch beweisen/ erklären? Weil irgendwie verstehe ich das nicht.

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c)

lim (t --> ∞) 2.5·(1 - e^(-0.1·t))

2.5·(1 - e^(-0.1·∞))
2.5·(1 - e^(-∞))
2.5·(1 - 0)
2.5·1
2.5

Man hat also langfristig eine Sinkgeschwindigkeit von 2.5 m/s welche auch nie auf 0 zurück geht. Ein Gegenstand der allerdings immer weiter sinkt kann logischerweise noch nicht auf dem Boden angekommen sein, denn dann würde die Sinkgeschwindigkeit ja auf 0 zurück gehen.

Answer 3

a) v(0) = 2,5*(1-0,9^0) = 2,5*=0 = 0

b) v(t) = 2

2,5*(1-0,9^t) = 2

1-0,9^t = 2/2,5 = 0,8

0,9^t =0,2

t= ln0,2/ln0,9 = 15,28 s

Answer 4

a)

Nun, zu Beginn ist t = 0, also:

v ( 0 ) = 2,5 (1 - e ^{- 0,1 * 0} ) = 0 [m/s]

Nach 10 Sekunden gilt:

v ( 10 ) = 2,5 (1 - e ^{- 0,1 * 10} ) =  2,5 (1 - e ^{- 1} ) = 1,58 [m/s]

 

b) https://www.wolframalpha.com/input/?i=2.5+*+%281-e%5E%28-0.1*t%29%29+from0to20

 

c)

v ( t ) = 2

<=>  2,5 (1 - e ^{- 0,1 * t} ) = 2

<=> 1 - e ^{- 0,1 * t} = 0,8

<=> 0,2 =  e ^{- 0,1 * t}

<=> -0,1 t = ln ( 0,2 )

<=> t = ln ( 0,2 ) / -0,1 = 16,09 [s]

Also: Nach etwa 16 Sekunden sinkt der Stein mit einer Geschwindigkeit von 2 [m/s].

Comments

wie kommt man auf die 0,2????

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Das geht so:

1 - e ^{- 0,1 * t} = 0,8

auf beiden Seiten 0,8 subtrahieren:

<=>  0,2 - e ^{- 0,1 * t} = 0

auf beiden Seiten e ^{- 0,1 * t}  addieren:

<=>  0,2 = e ^{- 0,1 * t}

Answer 5

Der Stein hat zu Beginn die Geschwindigkeit v(0), und nach 10 sekunden v(10). Setze also  einmal t = 0 und einmal t = 10 in deine Gleichung.
Wann hat der Stein die Geschwindigkeit 2 m/s? v(t) = 2 wir suchen also t
$$ 2 = 2,5 \cdot (1-e^{-0,1t}) \\ 0,8 = 1 - e^{-0,1t}  \\ e^{-0,1t}  = 0,2 \\ -0,1t = ln(1/5) = -ln(5) \\ t = 10ln(5) $$

Answer 6

Hi,

1,3 und 4 hast du richtig erkannt.

zu 2:

Ich denke du sollst einfach

\(v(t_2) - v(t_1) \) berechnen.

Gruß

Comments

Gut, dann hatte ich ja die richtigen Ansätze.

Aber wie leite ich diese funktion nun ab? Produktregel nicht oder?

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Kettenregel

Multiplizier die Klammer vielleicht erstmal aus, damit es einfacher wird.

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v(t)=2,5-2,5e^-0,5*t

so weiter komme ich nicht...

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Das ist falsch

$$ v(t) = 2,5 - 2,5e^{-0,1t} $$

Ableitung einer Funktion der Form

$$ \left(e^{g(x)} \right)' = g'(x) \cdot e^{g(x)} $$

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ich verstehe die kettenregel innere mal äußere ableitung. aber ich verstehe nicht wie man diese auf dieses beispiel anwendet. könntest du mir dies einmal vorzeigen? wäre sehr dankbar

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$$\left( e^{-0,1t} \right)' = (-0,1) \cdot e^{-0,1t} $$

Jetzt?

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weiß ich nicht, ist die ableitung:

-2,5-0,1*e^-0,1t

dann habe ich verstanden.

2,5 fällt ja weg da es eine ganz normale zahl ist

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Nein die Ableitung ist:

v'(t) = -2,5*(-0,1)e^-0,1t

Aber vielleicht meintest du das ja und hast dich nur verschrieben....

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Ja wird mal genommen. meine ich sorry...danke für alles :)

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Kein Problem :)

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jetzt soll ich ja beweisen, dass der stein ständig zunimmt...aber stelle ich die 1. Ableitung gleich null und rechne dies aus bekomme ich 0. was für ein monotonie verhalten ist das dann? ist das damit bewiesen?

v'(t) = -2,5*(-0,1)e^-0,1t  = 0,25e^-0,1t

 0,25e^-0,1t = 0 / :0,25

           e^-0,1t = 0 / lg

          -0,1t    =0 / :(-0,1)

                t = 0

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Wenn du lg schon machst musst du das auf beiden Seiten machen, spätestens da wäre dir aufgefallen, dass lg(0) gar nicht existiert. Das liegt nämlich daran, dass die Exponentialfunktion nie 0 wird ;).

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ja aber dann habe ich ja nur 0,25=0 wie soll ich da nach t auflösen?

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Anscheinend hast du es nicht verstanden. Die E-Funktion ist immer größer als Null insbesondere ist

v'(t) > 0 für alle t. Also kannst du deine Gleichung gar nicht lösen!

Deswegen nimmt die Geschwindigkeit auch immer zu...

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ohne nullstelle kann ich aber auch keinen hochpunkt bestimmen...

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Bingo....überleg mal was das bedeuten könnte wenn es keinen Hochpunkt gibt

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dass der stein der in den see geworfen wird unendlich lange nach unten taucht? und nie ein maximum erreicht und ab einer gewissen tiefe konstant nach unten taucht

Answer 7

a)   v = 2,5 (1-e^-0,1t)     t = 0           v nach 10 s

v = 2,5 ( 1 - e^ - 0,1 x 0 )            v = 2,5 ( 1 - e^ -0,1X10 )

v = 2,5 ( 1 - e^ 0 )                        v = 2,5 ( 1 - 0,368 )

v = 2,5 ( 1 - 1 )                             v = 1,58 m/s

v = 0

Answer 8

v ( t ) = 2.5 * ( 1 - e^{-0.1*t} )

jetzt t = 0 und t =10 einsetzen

Zur Kontrolle
v( 0 ) = 0
v ( 10 ) = 1.58 m/s

Wenns weitergehen soll und wie dann wieder melden.

Comments

Ja, soweit bin ich tatsächlich bereits. Ich habe Schwierigkeiten bei den folgenden Aufgaben, also speziell bei c stecke ich nun wieder fest.

Bitte nicht die Lösung verraten. Ich hätte gerne Tipps. Eine Erklärung was zu tun ist mit mathematischen Begriffen.

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Wann ist die Geschwindigkeit 2 m/s

v ( t ) = 2.5 * ( 1 - e^-0.1*t )  = 2

2.5 * ( 1 - e^-0.1*t )  = 2

nach t umstellen.

d:)

Was passiert mit v wenn für t = ∞ eingesetzt wird.

Bin jetzt fernsehen.

Answer 9

A) \( e^{-0.1 t} \) ist eine monoton fallende Funktion. Berechne den Wert für \( t = 0\) und schliesse auf das Gesamtverhalten

B) Bilde die erste Ableitung und schliesse auf monoton fallend oder steigend

C) Wird die Sinkgeschwindigkeit irgendwann mal 0

D) Die erste Ableitung der Ortsfunktion entspricht \( v(t) \), also \( \dot s(t) = v(t) \). Was bedeutet das?

E) Bestimme das asymptotische Verhalten der Sinkgeschwindigkeit

F) Prüfe ob \( v(t+0.9) = 2 v(t) \) gilt für alle \( t \)

Answer 10

A) Wahr, denn wäre sie negativ, so würde der Stein nicht sinken sondern nach oben wandern. Mathematisch: v(0)=0 und ist streng monoton steigend in $$[0,\infty)$$

B) Falsch, denn sie ist dort 0 (t=0 in v(t) einsetzen und nachrechnen)

C) Falsch: Ist der See nicht unendlich tief, wird der Boden zu irgend einem Zeitpunkt erreicht.

D) Wahr: Aus Physik, insbesondere Mechanik bzw. Schwingungslehre ist bekannt, dass die Ableitung von der Strecke s(t) die Geschwindigkeit ist. Daraus folgt $$s(t)=\int_0^{v_1} v(t)dt, v_1\in\mathbb{R}$$

E) Wahr: Betrachte den Limes $$\displaystyle lim_{t\to\infty} v(t) = 2.5(1-0)\frac{m}{s}=2.5 \frac{m}{s}$$

F) Falsch: Betrachte hierzu $$v(1)=2.5(1-e^{-0.1*1})=0.24 $$ und $$v(1+0.9=1,9)=2.5(1-e^{-0.1*1,9})=0,43  $$

    Es gilt jedoch 0.24*2=0.48 statt 0.43

greiza