Zeigen Sie, dass die Wassermenge im Tank ständig zunimmt.

Question

Aufgabe:

Ein Wassertankt hat ein Fassungsvermögen von 550 Liter. Die Wassermenge zum Zeitpunkt t kann beschrieben werden durch die Funktion f mit f(t)= 520 - 280 . e^-1/15t . Dabei wird t in Minuten ab Beobachtungsbeginn und f(t) in Liter gemessen.

a) Wie viel Wasser ist bei Beobachtungsbeginn im Wassertank? Wie lange dauert es, bis der Tank zu drei Viertel seines Fassungsvermögens gefüllt ist? Zeigen Sie, dass die Wassermenge im Tank ständig zunimmt. Bedeutet dies, dass das Fassungsvermögen des Tanks auf Dauer nicht ausreicht? Begründen Sie.

b) Nach 15 Minuten wird der Zufluss gestoppt und ein Abfluss geöffnet. Die momentane Abflussrate beträgt 0,5% der vorhandenen Wassermenge pro Minute. Geben Sie eine Funktion g an, die den Wasserstand zum Zeitpunkt t während des Abflusses beschreibt. Wie lange dauert es, bis die Wassermenge bei Beobachtungsbeginn wieder erreicht ist?

c) Der Tank soll nun vollständig geleert werden. Dazu wird 40 min nach Beobachtungsbeginn der Abfluss geändert. Er kann nun durch eine lineare Funktion beschrieben werden, deren Steigung der momentanen Abflussrate zum Zeitpunkt der Änderung entspricht. Wie lange dauert es bis zur vollständigen Leerung des Tanks?

Problem:

Ich hoffe, dass Sie mir die Fragen ausführlich beantworten. Vielen Dank im Voraus.

Comments

Ich hoffe, dass Sie mir die Fragen ausführlich beantworten. Vielen Dank im Voraus.

Ich hoffe, dass du erst mal die Antworten gibst, die du auch ohne Hilfe geben könntest. Das hier ist nicht der kostenlose Hausaufgabenerledigungsdienst.

---

Verzeihung :(

---

Das hab ich bekoomen:

f(t)= 520 - 280. e^-1/15.t

f(0)= 520 - 280 . e^--1/15.0 => f(0)= 240

3/4= 412,58

412,58= 520 - 280 . e^-1/5.t  => 14.36

b) 520 - 280 . e^{-1/15 .15}  = 417

Ich bin nicht weiter gekommen. Ich weiß auch nicht, ob es richtig oder falsch ist :(

Ich meinte auch nicht, dass ihr Hausaufgabendiest seid. Aber vielen Dank für Ihre kostenlose Hilfe.

Answer 1

f ( t ) = 520 - 280 * e^(-1/15t)
a) Wie viel Wasser ist bei Beobachtungsbeginn im Wassertank?
f ( 0 ) = 520 - 480 * e^0 =  240 l

Wie lange dauert es, bis der Tank zu drei Viertel seines Fassungsvermögens gefüllt ist?
t = 14.36 min

Zeigen Sie, dass die Wassermenge im Tank ständig zunimmt.
Die Monotonie ist stets positiv ( steigend )
f ( t ) = 520 - 280 * e^(-1/15t)
f ´( t ) = 56 / 3 * e^(-1/15t)
Die e-funktion ist stets positiv . 56/3 auch.

Bedeutet dies, dass das Fassungsvermögen des Tanks auf Dauer nicht ausreicht? Begründen Sie
t lassen wir gegen unendlich gehen.
f ( t ) = 520 - 280 * e^(-1/15t)
f ( t ) = 520 - 280 * e^(-∞)
f ( t ) = 520 - 280 * 0
f ( ∞ ) = 520 l < Fassungsverögen 550 l
Das Fassungsvermögen reicht stets aus.

Morgen geht es weiter.

Comments

Vielen vielen Dank.

---

b) Nach 15 Minuten wird der Zufluss gestoppt und ein Abfluss geöffnet. Die momentane Abflussrate beträgt 0,5% der vorhandenen Wassermenge pro Minute. Geben Sie eine Funktion g an, die den Wasserstand zum Zeitpunkt t während des Abflusses besschreibt.
Wassermenge nach 15 min Zufluss
f ( 15 ) = 417 l
Abflussrate =0.5 %
faktor = 1 - 0.5/100 = 0.995
Anfangswert für t = 0 nach 15 min
g ( t ) = 417 * 0.995 ^t

Wie lange dauert es, bis die
Wassermenge bei Beobachtungs-
beginn wieder erreicht ist?
f ( 0 ) = 240 l ( siehe oben )
417 * 0.995 ^t = 240

t = 110.21 min
nach Beendigung des Zuflusses

Geht weiter. Muß aber erst einmal
einkaufen.

---

Dankeschön. Das ist nett von Ihnen.

---

c) Der Tank soll nun vollständig geleert werden. Dazu wird 40 min nach Beobachtungsbeginn der Abfluss geändert. Er kann nun durch eine lineare Funktion beschrieben werden, deren Steigung der momentanen Abflussrate zum Zeitpunkt der Änderung entspricht. Wie lange dauert es bis zur vollständigen Leerung des Tanks?
0 .. 40 nach Beobachtungs
f ( 0 ) = 240 l
g ( t ) = 240 * 0.995 ^t
Menge an der Stelle
g ( 40 ) = 240 * 0.995 ^40 = 196.4 l
g ´( t ) = 240 * 0.995 ^t * ln ( 0.995)
Abflussmenge an der Stelle
g ´( 40 ) = 0.9844 l / min
Zeit
196.4 minus 0.9844 * zeit = 0
Zeit 199.5 min

---

Dankeschön. Das ist nett von Ihnen.

Können Sie mir vielleicht erklären, was ln(0.995) ist? Woher kommt das eigentlich?

---

Wir haben die Funktion
g ( t ) = 240 * 0.995 ^t
Dies ist ein Exponentialfunktion d.h
die Variable " t " ist im Exponent .

Diese gilt es abzuleiten
Ich gehe davon aus das dir das
Zeichen für " ln " als Logarithmus
bekannt ist.

Hier ist Trick 17 angesagt.
Ich wandle erst einmal um
0.995 ^t zu
e hoch ( ln ( 0.995 ^t ))
e hoch ln ( term ) hebt sich wieder
auf zu term.

Also
e hoch ( ln ( 0.995 ^t )) =
e hoch ( t * ln ( 0.995 ))

Die Ableitung von
( e ^ term ) ´ = e ^term * ( term ´)

[ e hoch ( ln ( 0.995 ^t )) ] ´ =
[ e hoch ( t * ln ( 0.995 ^t )) ] ´ =
e hoch ( ln ( 0.995 ^t )) * [ ln ( 0.995 ) ]
wieder zurück
0.995 ^t * ln ( 0.995 )
Noch die 240 wieder dabei
g ´( t ) = 240 * 0.995 ^t * ln ( 0.995 )

Frag nach bist alles klar ist.
Ansonsten schau einmal im Internet
unter " ableitung exponentialfunktion "
nach.

---

Woow super erklärt. :) ich hab es verstanden. Danke

---

War aber schon etwas komplizierter.

---

Zum Lernen sicherlich gut.
Wenns mans begriffen hat gehts kürzer.

Jede Expronentialfunktion kann in eine
andere Exponentialfunktion mit anderer
Basis umgewandelt werden. Die
e-Funktion ist leicht zu handhaben

0.995 ^t = e^z | ln ( )
t * ln ( 0.995 ) = ln( e^z )
z = t * ln (0.995 )

(e ^z ) ´ = e ^[t * *ln(0.995)] * ln ( 0.995 )
( 0.995 ^t ) ´ = 0.995 ^ t * ln ( 0.995 )

---

Super Dankeschön von Ihnen

Answer 2

Hier eine Skizze vom Wasserzulauf. Eigentlich kannst du bereits näherungsweise die Lösungen für a) angeben. Überlege auch wie du die Ergebnisse duch eine Rechnung genau angeben kannst.

~plot~ 520-280*e^(-x/15);3/4*550;[[0|20|0|600]] ~plot~

Mach eventuell mal einen Vorschlag.

Comments

Deine ersten Lösungsvorschläge sehen doch prima aus.

b)

f(15) = 417.0 Liter

g(t) = 417·(1 - 0.005)^t = 417·0.995^t = 417·e^(-0.005013·t)

g(t) = 417·0.995^t = 240 → t = 110.2 Minuten

Answer 3

Hallo,

\(f(t)=520-280\cdot e^{-\frac{1}{15}t}\)

a) Wie viel Wasser ist bei Beobachtungsbeginn im Wassertank?

Wenn t die Zeit in Minuten ab Beobachtungsbeginn ist, was solltest du dann für t einsetzen?

Wie lange dauert es, bis der Tank zu drei Viertel seines Fassungsvermögens gefüllt ist?

f(t) = Liter

Berechne 3/4 von 520, setze diesen Wert für f(t) ein und löse nach t auf.

Zeigen Sie, dass die Wassermenge im Tank ständig zunimmt.

Hier könntest du dir über das Monotonieverhalten der Funktion Gedanken machen.

Versuche mal, diese Aufgabenteile zu lösen.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank von Ihnen