Berechne, nach wievielten Minuten die Wassermenge am stärksten zunimmt.

Question

Aus einem Schwimmbecken wird Wasser abgelassen, bevor es wieder gefüllt wird. Die Zuflussrate des Wassers wird in den ersten 60 Minuten durch f(t) = (t-5) * e^(-0.1t) mit der Zeit t in min und f(t) in m^3/min beschrieben.

a) Berechne, nach wievielten Minuten die Wassermenge am stärksten zunimmt.

b) Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Wassermenge im Becken minimal ist.

c) Erläutere, welche Bedeutung das Integral 0 bis 5 von f(t) = -10,65 im Sachkontext hat und gib die Einheit von -10,65 an.

Answer 1

eine Kurvendiskussion durchführen,Extrema bestimmen

f(t)=(t-5)*e^(-0,1*t)  ableiten

Produktregel (u*v)´=u´*v+u*v´

Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung

elementare Ableitung f(x)=e^(x) → f´(x)=e^(x)

u=t-5 abgeleitet u´=du/dt=1

v=e^(-0,1*t) → Substitution (ersetzen) z=-0,1*t abgeleitet z´=dz/dt=-0,1

f(z)=e^(z) → f´(z)=e^(z)

v´=dv/dt=z´*f´(z)=1*(-0,1)*e^(-0,1*t)

f´(x)=1*e^(-0,1*t)+(t-5)*(-0,1)*e^(-0,1*t) nun e^(-0,1*t)

f´(t)=e^(-0,1*t)*(1-0,1*t+0,5)

f´t)=m=0=e^(-0,1*t)*(1,5-0,1*t)

e^(-0,1*t) kann nicht NULL werden

0=1,5-0,1*t → t=1,5/0,1=15

Maximum bei t=15 Minuten

Überprüfung mit

f´´(t)=....

Das schaffst du selber

b) integrieren → Partielle Integration ∫u*dv=u*v-∫v*du

ergibt die Wassermenge im Becken

~plot~(x-5)*e^(-0,1*x);[[-1|20|-10|5|]];x=15~plot~

Comments

Danke für Ihre Antwort. Würde das Integral dann angeben, wieviel Wasser in der Bilanz nach 5 Minuten hinzugekommen ist?

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Zuflußrate(Volumenstrom → Kubikmeter pro Zeiteinheit t ) ist ja der Zufluß an Wasser in Kubikmeter in einer Minute

Wäre die Zuflußrate (V)=3 m³/min=konstant,dann wären ja dann nach 10 Minuten

V=(V)*t=3 m³/min*10 mim=30 m³  im Becken

Einheitenkontrolle: m³/min*min=m³  ist die Einheit des Volumens Kubikmeter

Mit der Einheitenkontrolle kann man die Formel auf Richtigkeit überprüfen.

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Dann müsste das Integral von 0 bis 5 angeben wieviel Wasser (in m^3) nach 5 Minuten in der Bilanz hinzugekommen sind, oder?

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Zuflußrate ist f(t)=(t-5)*e^(-0,1*t)

t=Zeit in Minuten

Volumen V in m³ (kubikmeter)

1) zeichne den Graphen f(t)=(t-5)*e^(-0,1*t)

Ich hoffe,dass du eine Graphikrechner GTR,Casio) hat,wie ich einen habe

Mit dem GTR

1) Nullstelle bei t=5 min

2) zwischen t=0 bis t=5 min ist der Funktionswert f(t)=<0  negativ

bedeutet,es fließ Wasser ab (aus dem becken heraus)

3) bei t>5 Minuten ist f(t)=>0 positiv also fließt dann Wasser zu (in das Becken)

4) f(t)=... → Maximum bei t=15 Minuten → maximaler Zufluß in m³/min

integriert

F(t)=∫(t-5)*e^(-0,1*t)  mit partielle Integration

F(x)=∫u*dv=u*v-∫v*du

ergibt

V(t)=F(t)=e^(-0,1*t)*(-50 m³-10 m³/min*t)+C

abgelaufen ist zwischen t=0 min bis 5 minb → tu=0 min und to=5 min

V=obere Grenze minus untere Grenze=V(to)-V(tu)

Die Integrationskonstante C hebt sich hier auf → +C-C=0

eingesetzt und ausgerechnet

V=-10,653 m³  → es sind innerhalb von 5 Minuten V=10,653 m³ ausgelaufen

zugelaufen ist dann mit tu=5 min und to=...

V=[e^(-0,1*to)*(-50 m³-10 m³/min*to)] - [e^(-0,1*5)*(-50*5-10*5)]

Den Rest schaffst du selber.

b)  minimaler Wasserstand im Becken bei t=5 min ,weil dann V=10,653 m³ ausgelaufen sind

ab t> 5 min fließt wieder Wasser zu → Wasser im Becken wird mehr

c) V=-10,653 m³   (kubikmeter)  Wasser ist aus dem Becken ausgelaufen

Fläche unter der t-Achse von t=0 bis t= 5 min (Fläche is negativ)