Unendliche Summe 1+2+4+8+16+...=-1

Question

Aufgabe:

Ich überlege gerade, warum die Summe 1+2+4+8+16+...= -1 nicht stimmen kann.

Als Beweis (?) dafür, dass es stimmt, könnte man mit der geometrischen Reihe argumentieren:

1+2+4+8+16+32+...=∑n=0∞ 2ⁿ = 1/(1-2) = 1/-1 = -1

In einem englische WPA steht allerdings Folgendes:

"As a series of real numbers it diverges to infinity, so in the usual sense it has no sum. In a much broader sense, the series is associated with another value besides ∞, namely −1, which is the limit of the series using the 2-adic metric.

Ich finde es logisch, dass die Folge gegen unendlich divergiert. ich verstehe nur nicht, wie da -1 rauskommen kann und was die rot unterstrichene Stelle bedeutet.

Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen und es etwas auflösen. :)

Liebe Grüße

Lisan

Answer 1

Geometrische Reihe

Diese Formel gilt und kann auch leicht bewiesen werden für q < 1. Für q = 1 funktioniert diese Gleichung offensichtlich nicht, da 1/0 nicht definiert ist und Folgen, welche sich dieser Größe "annähern" (etwa für 1/a mit a gegen 0) gegen unendlich laufen.

Für q > 1 ist diese Folge nicht bewiesen. Es kamen aber Schlauberger auf die Idee, für q eine 2 einzusetzen:

Das ist völliger Blödsinn, denn die oben genannte Gleichung gilt nur im Konvergenzradius -1 < q < 1, auf dem und außerhalb des Konvergenzradius geht diese Summe überhaupt nicht in diesen Bruch über, sondern verliert sich im größenmäßigen Nirvana, im undefinierten Bereich. Man kann das mit Systemen vergleichen, die für eine bestimmte Größe Muster aufweisen und ab einer Grenze sich im Chaos verlieren. Hier ist diese Grenze die 1/0 und dahinter versagt das System.