Wie genau bestimme ich den Erwartungswert einer Zufallsvariable X?

Question

Guten Abend zusammen, ich hätte da mal eine Frage zu Zufallsvariablen und Erwartungswerten.

Wir befinden uns in einem Intervall zwischen zwei Zahlen, sagen wir einfach mal 2 und 5.

Die Wahrscheinlichkeit eine zahl zu erhalten zwischen 2 und 3 soll doppelt so hoch sein wie zwischen 3 und 4, und diese soll doppelt so hoch sein wie zwischen 4 und 5.

Nur zwischen den Intervallen [2, 3), [3, 4) und [4, 5) sind die zahlen gleichverteilt. (Die Zahlen in den Intervallen sind natürlich Dezimalzahlen)

Wie genau bestimme ich den Erwartungswert einer Zufallsvariable X? Ich Grübel schon die ganze Zeit, vielleicht mache ich mich ja auch nur verrückt, aber ich verstehe gerade nicht genau wie das Funktionieren soll.

Meine Überlegung war:

Für ein Intervall [a,b):

(a+b)/2 multipliziert mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit - > das für die drei Intervalle und dann aufsummieren?

Es wäre sehr lieb, wenn mir jemand das erklären könnte.

mfg

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeiten in den Intervallen Verhalten sich wie

4 : 2 : 1

Das führt uns zu Wahrscheinlichkeiten von

4/7 : 2/7 : 1/7

In den einzelnen Intervallen können wir die Mitte als Mittelwert annehmen. Das führt uns zu einem Erwartungswert von

E(X) = 2.5·4/7 + 3.5·2/7 + 4.5·1/7 = 43/14 = 3.071

Comments

Ich verstehe, das einzige was mich zurückgehalten hat war, dass ich nicht wusste, dass man einfach die Mitte als Mittelwert einfach so annehmen kann, vielen Dank !

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Falls sie das noch Lesen, wie würde sich die Varianz dann ausrechnen lassen?

E(X^2) - (E(X))^2  meine ich oder?

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Ja. Deine Formel für die Varianz ist richtig.

Du könntest die Formel für den Erwartungswert auch mit dem Integral herleiten.

E(X) = ∫ (2 bis 3) x·4/7 dx + ∫ (3 bis 4) x·2/7 dx + ∫ (4 bis 5) x·1/7 dx

E(X) = 4/7·∫ (2 bis 3) x dx + 2/7·∫ (3 bis 4) x dx + 1/7·∫ (4 bis 5) x dx

Und jetzt kannst du allgemein überlegen, was ∫ (2 bis 3) x dx für einen Wert ergibt. Verwende dabei evtl. die 3. binomische Formel.

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Da bin ich etwas verwirrt, wie genau ich (2 bis 3) im Integral interpretieren soll.

Außerdem für die Varianz nochmal:

E(X²) wie genau berechne ich das? Bei (E(X))² ist mir das klar.

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Da bin ich etwas verwirrt, wie genau ich (2 bis 3) im Integral interpretieren soll.

Für ein bestimmtes Integral benötigst du doch Integrationsgrenzen. Das ist die 2 und die 3.

E(X2) wie genau berechne ich das?

E(X^2) = 4/7·∫ (2 bis 3) x^2 dx + 2/7·∫ (3 bis 4) x^2 dx + 1/7·∫ (4 bis 5) x^2 dx

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Oh ich verstehe, das wäre dann einfach immer der Mittelwert quadriert oder?

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Oh ich verstehe, das wäre dann einfach immer der Mittelwert quadriert oder?

Prüf das doch mal mit dem Integral, ob das einfach der quadrierte Mittelwert des Intervalls ist.

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ja habe ich, der Wert verwirrt mich etwas, der sollte ja nicht größer als 10 sein..

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ja habe ich, der Wert verwirrt mich etwas, der sollte ja nicht größer als 10 sein..

Du musst schon genau sagen wovon du sprichst. von der Varianz insgesamt oder was genau? Und woher kommt die 10.

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Da kommt nicht ganz genau dieselbe Zahl raus aber ähnlich

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9.9... und 10.0..

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Der Erwartungswert von X^2 ist etwas über 10. Und warum kann das deiner Meinung nach nicht sein?

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Ja da hab ich mich vertan, ich hatte da schon an die Varianz gedacht.

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Aber macht das einen Fatalen unterschied, wenn ich nur den Mittelwert betrachte?

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Aber macht das einen Fatalen unterschied, wenn ich nur den Mittelwert betrachte?

Offensichtlich ist der Fehler hier nicht fatal, aber es ist ein Fehler. Und darauf kommt es doch an. Für Mathematiker kann es unter Umständen schon fatal sein, wenn man statt √2 einfach 1.414 schreibt. Frag mal deinen Dozenten.

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Ich verstehe, das macht natürlich Sinn, vielen Dank!