Aufgabe:
Sei \( n \in \mathbb{N}\). Zeige, mit folgenden Definitionen, dass \(\lim\limits_{x\to\infty}\sqrt[n]{x}=\infty\) gilt:
Def. 1:
(i) \( \sqrt{2} \in \mathbb{R} \) \ \( \mathbb{Q} \). Insbesondere ist \( \mathbb{R} \) \ \( \mathbb{Q} \neq \emptyset \). Die Elemente der Menge \( \mathbb{R} \)\ \( \mathbb{Q} \) werden irrationale Zahlen genannt.
(ii) Sei \( a\in \mathbb{R} \) mit \( a \geq 0 \) und sei \( n\in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 2 \). Dann ist $$ a=\sqrt[n]{a^{n}}=(\sqrt[n]{a})^{n}. $$ (iii) Seien \( a,b\in \mathbb{R}\) mit \( 0 \leq a \lt b \) und sei \( n\in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 2 \). Dann ist $$ \sqrt[n]{a} \lt \sqrt[n]{b}. $$ (iv) Seien \( a,b \in \mathbb{R}\) mit \( a,b \geq 0 \) und sei \( n\in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 2 \). Dann ist $$ \sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} $$ und für \( b \gt 0 \) ist $$ \sqrt[n]{ \frac{a}{b}}= \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} . $$
Def 2.:
Sei \( D ⊂\mathbb{R} \) nach oben (bzw. unten) nicht beschränkt, sei \( f:D\rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion und sei \( a\in \mathbb{R} \,∪ \{\infty,- \infty\} \) . Wir schreiben $$ \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a,\;\;\;(bzw. \,\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=a) $$
falls für jede Folge \( (x_{n})_{n\in \mathbb{N}} \) in \( D \) mit \( \lim\limits_{x\to\infty}x_{n}=\infty \) (bzw. \( \lim\limits_{x\to\infty}x_{n}=-\infty \)) gilt, dass $$ \lim\limits_{x\to\infty}f(x_{n})=a. $$
