Beweis von Aussage über reelle Zahlen

Question

Aufgabe:

Nutzen Sie ggf. die g-al Bruchentwicklung reeller Zahlen, um folgende Aussagen zu beweisen:

°Sind x < y rationale Zahlen, dann gibt es r∈Q und s∈R∖Q , sodass x < r < y und x < s < y .

°Sind x < y irrationale Zahlen, dann gibt es r∈Q und s∈R∖Q , sodass x < r < y und x < s < y .

°Ist x rational und y irrational, x < y , dann gibt es r∈Q und s∈R∖Q , sodass x < r < y und x < s < y .

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir vlt jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen, ich weiß leider nicht so ganz, wie man das machen kann.

Danke schonmal :)

Answer 1

Zur ersten Aussage:

seien \(x<y\) rationale Zahlen. Dann gilt für \(r=(x+y)/2\):

\(r\in \mathbb{Q}\) und \(x< r < y\).

Sei \(d=y-x\), dann gibt es \(n\in\mathbb{N}\), so dass \(\sqrt{2}/n< d\) ist

wegen des archimedischen Axioms. Mit \(s=x+\sqrt{2}/n\) gilt dann

\(x<s<y\) und \(s\in\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\).

Vielleicht kannst du dir nun ähnliche Sachen für die

anderen beiden Behauptungen ausdenken.

Comments

Hi dankee erstmal, was ist das archimedischen Axioms? Und so ganz verstehe ich leider den Beweis noch nicht, wie kommst du auf die Wurzel 2 z.b.?

Dankee schonmal

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Das archimedische Axiom besagt, dass man 1/n beliebig klein

machen kann. Wenn ihr dies nicht explizit besprochen habt,

lass den Verweis darauf einfach weg.

\(\sqrt{2}\) ist eine positive irrationale Zahl.

Ich hätte genausogut auch eine andere positive irrationale

Zahl nehmen können. Ich habe halt die genommen,

von der schon Euklid wusste, dass sie nicht als Bruch

ganzer Zahlen geschrieben werden kann.

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Achso okay, vielen Dank :)

Warum muss ich denn beim ersten mit einer irrationalen Zahl rechnen? Und kann ich dann beim 2ten das gleiche eigentlich nehmen, weil da brauche ich ja eigentlich eine irrationale Zahl?

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Duu willst doch eine Zahl \(s\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\)

finden.