Mathematisches Beweisen in der Schule

Question

In der Schulmathematik ist ein Beweis die Herleitung einer mathematischen Aussage mit Hilfe des gesunden Menschenverstandes aus anderen wahren Aussagen. Dabei kann der Wahrheitsgehalt dieser anderen Aussagen

- vereinbart werden,
- offensichtlich oder
- bewiesen sein.
Schulmathematik stützt Beweise letztlich auf Konsens, Evidenz und das, was man mit ‚gesundem Menschenverstand‘ unpräzise beschreibt und üblicherweise als ‚Logik‘ bezeichnet wird. Ob die Logik selbst dabei Gültigkeit besitzt, bleibt in der Schule unklar. Zu den Aussagen, die konsensuell als wahr gelten, gehören insbesondere die Definitionen, welche festlegen, was man unter einem Terminus verstehen will. Der Terminus ‚Raute‘ kann zum Beispiel definiert werden als ‚Viereck mit vier gleichlangen Seiten‘. Viele Definitionen verwenden ihrerseits Termini, die im Zweifel noch einer Definition bedürfen. Über die Bedeutung von ‚Viereck‘, ‚Seite‘ und ‚gleichlang‘ muss Konsens bestehen, damit die genannte Definition des Terminus ‚Raute‘ akzeptiert werden kann. Anstelle des Wortes ‚Terminus‘ wird gerne das Wort ‚Begriff‘ verwendet. Dies wird hier vermieden, weil wir unter einem ‚Begriff‘ die Summe aller Eigenschaften, Muster und Gesetzmäßigkeiten des mit einem Terminus bezeichneten Objektes oder Sachverhaltes verstehen wollen. Die Semiotik verwendet für einen in diesem Sinne verstandenen Begriff die Bezeichnung ‚hypostatische Abstraktion‘ (zu Deutsch etwa ‚vergegenständlichende Verallgemeinerung‘). Jedes Nomen unserer Sprache ist genau genommen eine hypostatische Abstraktion. Wollen wir ein Nomen in einen weiterführenden Gedanken einbauen – wird also das Nomen Gegenstand eines weiterführenden Gedanken, so müssen wir vieles über dieses Nomen wissen, um es sinnvoll und sachlich zutreffend zu verwenden. Wollen wir das Nomen ‚Raute‘ zum Gegenstand des weiterführenden Gedanken machen ‚Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig‘ so müssen wir einiges über die Raute wissen. Der Begriff Raute muss als hypostatische Abstraktion verfügbar sein. Dabei soll ‚hypostatisch‘ darauf hinweisen, dass hier ein Gedanke zum Gegenstand eines weiterführenden Gedanken (Hypostase = Vergegenständlichung) geworden ist und ‚Abstraktion‘ beschreibt hier die Verdichtung vieler Eigenschaften, Muster und Gesetzmäßigkeiten, die in diesem Begriff enthalten sind zu einem sogenannten Superzeichen (Abstraktion= reduzierende Verallgemeinerung).

Auch Aussagen, deren Wahrheitsgehalt im oben beschriebenen Sinne hergeleitet wurde (die also bewiesen sind und in der Mathematik ‚Sätze‘ heißen) können und müssen später als hypostatische Abstraktionen beim erfolgreichen Lernen und Denken zur Verfügung stehen. So muss zum Beispiel die folgende Aussage für natürliche Zahlen t und n als hypostatische Abstraktion zur Verfügung stehen:
          ‚Mit jedem Teiler t von n ist auch t/n ein Teiler von n.‘
wenn man beweisen will:
         ‚Eine natürliche Zahl mit einer ungeraden Anzahl verschiedener Teiler ist eine Quadratzahl:‘

Die Begriffe der Mathematik, die bereits im Unterricht behandelt wurden und von denen der/die Lehrer*in daher annimmt, dass sie zur Lösung von Aufgaben zur Verfügung stehen, haben keineswegs immer den Charakter einer hypostatischen Abstraktion im Bewusstsein und Denken aller SuS. Allein dieser Umstand macht Beweisaufgaben für SuS außerordentlich schwer. Eine weitere Erschwernis ergibt sich aus der Tatsache, dass für viele Beweise ein sogenannter ‚Geistesblitz‘ erforderlich ist. Deshalb werden im Unterricht einige Beweise exemplarisch vorgeführt und lediglich deren Reproduktion bei Transfer auf sehr ähnliche Fälle verlangt. Bekanntes Beispiel ist die Vorführung des Beweises einer Ableitungsregel in der Differentialrechnung, die dann übertragen auf eine neue Funktion reproduziert werden soll.

Die Einsicht in das ‚Warum‘ einer gültigen Aussage liefert sehr oft bereits die Beweisidee. So ermöglicht untenstehende Skizze Einsicht in die Gültigkeit des Satzes von Pythagoras.

Die Beweisidee besteht jetzt darin, zu zeigen, dass Dreiecke gleicher Farbe kongruent sind und dass das Quadrat ABCD von den gleichen Flächenstücken überschneidungsfrei und vollständig überdeckt wird, wie die beiden Quadrate EFKD und HFGB. Diesen Beweis formal in der Sprache und Stenografie der Mathematik niederzuschreiben, unterbleibt in der Schule meistens. Es genügt – wie so oft in der Schulmathematik – Evidenz.

Der Verzicht auf die formale Niederschrift eines Beweises wird von einigen Didaktikern für ein Versäumnis des real praktizierten Mathematikunterrichtes gehalten. Tatsächlich sollten auch diese Niederschriften von Beweisen an geeigneter Stelle vermittelt und geübt werden. Für das Verstehen der vermittelten Inhalte ist Evidenz allerdings wichtiger als formale Korrektheit.