Berechne das Integral in Polarkoordinaten

Question

Aufgabe:

Berechne das Integral in Polarkoordinaten

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-r^2} dy$$

mit $$x=r cos (\phi), y=r sin (\phi)$$ wobei r = |r|, r(x,y)

Hinweis $$dxdy=d\phi dr r$$

Problem/Ansatz:

Kann ich die beiden Integrale einfach zusammen in eins schreiben? Also

$$\int_{-\infty}^{\infty}  e^{-r^2} dx dy$$

und dann mit dem Hinweis ersetzen

$$\int_{-\infty}^{\infty}  e^{-r^2} d\phi dr r$$

Wie gehe ich hier am besten vor?

Answer 1

Aloha :)

Du bist auf dem richtigen Weg...

Wenn du zur Berechnung des Integrals$$I=\int\limits_{x=-\infty}^\infty\;\, \int\limits_{y=-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy$$von kartesischen Koordinaten \((x;y)\) zu Polarkoordinaten \((r;\varphi)\) übergehst, ändern sich nicht nur die Integrationsgrenzen \(r\in[0;\infty]\) und \(\varphi\in[0;2\pi]\), sondern auch das Flächenelement \(dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\)$$I=\int\limits_{r=0}^\infty\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}e^{-r^2}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{r=0}^\infty r\,e^{-r^2}\,dr$$

Die beiden Integrale kannst du unabhängig voneinander berechnen. Das Integral über \(d\varphi\) kannst du sofort hinschreiben. Das Integral über \(dr\) ist auch relativ leicht. Wenn du nämlich \(e^{-r^2}\) ableitest, erhältst du \((-2r\,e^{-r^2})\). Das ist bis auf den Faktor \((-2)\) genau unser Integrand.$$I=\left[\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\cdot\left[\frac{e^{-r^2}}{-2}\right]_{r=0}^\infty=(2\pi-0)\cdot\left(0-\left(-\frac12\right)\right)=2\pi\cdot\frac12=\pi$$